El proceso derivado de cosx+xsinx
xcosx=xcosx
La derivada, también llamada valor de la función derivada y cociente de WeChat, es una parte importante de cálculo El concepto básico son las propiedades locales de las funciones.
No todas las funciones tienen derivadas, y una función no necesariamente tiene derivadas en todos los puntos. Si la derivada de una función existe en un punto determinado, se dice que es derivada en ese punto; en caso contrario, se llama no derivada. Sin embargo, una función diferenciable debe ser continua; una función discontinua debe ser no diferenciable.
Nombre chino
Derivados
Nombres extranjeros
Derivados
Propuesto por
Newton, Leibniz
Visualización del tiempo
Siglo XVII
Campos de aplicación
Matemáticas (cálculo), física
p>Desarrollo histórico
Origen
Alrededor de 1629, el matemático francés Fermat estudió el método para trazar tangentes a curvas y encontrar el valor extremo de funciones. Alrededor de 1637, escribió un manuscrito; "Métodos para encontrar valores máximos y mínimos". Al hacer la tangente, construyó la diferencia f(A+E)-f(A) y encontró que el factor E es lo que llamamos la derivada f’(A).
Desarrollo
El desarrollo de la productividad en el siglo XVII impulsó el desarrollo de las ciencias naturales y la tecnología. A partir de la investigación creativa de sus predecesores, los grandes matemáticos Newton y Leibniz comenzaron a estudiar sistemáticamente el cálculo desde diferentes ángulos. La teoría del cálculo de Newton se llama "teoría de los fluidos". Llamó a la variable flujo y a la tasa de cambio de la variable número de flujo, que es equivalente a lo que llamamos derivada. Los principales trabajos de Newton sobre "Teoría del flujo" incluyen "Encontrar el área de polígonos curvos", "Métodos de cálculo utilizando ecuaciones polinómicas infinitas" y "Teoría del flujo y series infinitas". La esencia de la teoría del flujo se resume de la siguiente manera: se centra en una función de una variable, no en una ecuación multivariada; reside en la composición de la relación entre el cambio de la variable independiente y el cambio de la función más importante; Se trata de determinar el límite de esta relación cuando el cambio tiende a cero.
Derivadas
Si la función y=f(x) es derivable en cada punto del intervalo abierto, se dice que la función f(x) es derivable en el intervalo. . En este momento, la función y = f (x) corresponde a un cierto valor derivado para cada cierto valor de x en el intervalo, formando una nueva función, que se llama función derivada de la función original y = f (x), denominado y para abreviar ', f'(x), dy/dx o df(x)/dx.
Los derivados son un pilar importante del cálculo. Newton y Leibniz contribuyeron a ello.
Significado geométrico
El significado geométrico de la derivada f'(x0) de la función y=f(x) en el punto x0: significa que la curva de la función está en P0(x0 , f(x0)) La pendiente tangente en el punto (el significado geométrico de la derivada es la pendiente tangente de la curva de función en este punto).
Cálculo de derivadas
La función derivada de una función conocida se puede calcular basándose en la definición de la derivada y utilizando el límite de la tasa de cambio. En los cálculos reales, las funciones analíticas más comunes pueden considerarse como la suma, diferencia, producto, cociente o resultado compuesto mutuo de algunas funciones simples. Siempre que conozcas las derivadas de estas funciones simples, podrás calcular las derivadas de funciones más complejas basándose en la ley de la derivada.
La regla de derivación de las derivadas
La función derivada de una función formada por la suma, diferencia, producto, cociente o compuesto mutuo de funciones básicas se puede derivar de la regla de derivación de las función. Las reglas básicas de derivación son las siguientes:
1. Derivación lineal: derivar la combinación lineal de la función derivada equivale a encontrar primero la derivada de cada parte y luego encontrar la combinación lineal (es decir, fórmula ①). .
2. La función derivada del producto de dos funciones: una derivada por dos + una derivada por dos (es decir, fórmula ②).
3. La función derivada del cociente de dos funciones también es una fracción: (derivada por la madre - derivada por la madre) dividida por el cuadrado de la madre (es decir, fórmula ③).
4. Si hay una función compuesta, utilice la regla de la cadena para derivarla.
Propiedades de las derivadas y funciones
Monotonicidad
(1) Si la derivada es mayor que cero, aumenta monótonamente si la derivada es menor que cero, disminuye monótonamente; la derivada igual a cero es el punto estacionario de la función, no necesariamente el punto extremo. Para determinar la monotonicidad, es necesario encontrar las derivadas de los valores a la izquierda y a la derecha del punto de entrada.
(2) Si la función conocida es una función creciente, la derivada es mayor o igual a cero; si la función conocida es una función decreciente, la derivada es menor o igual a cero;
Según el teorema básico del cálculo, para funciones diferenciables, existen:
Si la derivada de la función es siempre mayor que cero (o siempre menor que cero) en un determinado intervalo, Entonces la función aumenta (o disminuye monótonamente) dentro de este intervalo, que también se llama intervalo monótono de la función. El punto donde la función derivada es igual a cero se llama punto estacionario de la función. En este punto, la función puede obtener el valor máximo o mínimo (es decir, el punto sospechoso del valor extremo). Un juicio adicional requiere conocer el signo de la función derivada cercana. Para un punto satisfactorio, si existe de manera que sea mayor o igual a cero en el intervalo anterior y menor o igual a cero en el intervalo posterior, es un punto de valor máximo, y viceversa.
Cuando x cambia, la recta tangente de la función (curva azul) también cambia. El valor derivado de la función es la pendiente de la recta tangente. El verde representa su valor positivo, el rojo representa su valor negativo y el negro representa su valor cero.
Cóncavo-convexo
La concavidad y convexidad de una función diferenciable está relacionada con la monotonicidad de sus derivadas. Si la derivada de una función aumenta monótonamente dentro de un cierto intervalo, entonces la función en este intervalo es cóncava hacia abajo; en caso contrario, es convexa hacia arriba. Si la función derivada segunda existe, también se puede juzgar por su signo. Si siempre es mayor que cero en un determinado intervalo, entonces la función es cóncava hacia abajo en este intervalo y convexa hacia arriba en este intervalo. Los puntos límite cóncavos y convexos de una curva se denominan puntos de inflexión de la curva.
Función de potencia
La función de potencia también se puede demostrar de la misma manera.
Para decirlo sin rodeos, la derivada es en realidad la pendiente de la recta tangente de una curva y la tasa de cambio del valor de la función.
Por supuesto, el denominador mencionado anteriormente tiende a cero, pero no olvides que el numerador también puede tender a cero, por lo que la relación entre ambos puede ser un número determinado. Si la molécula tiende a un determinado número distinto de cero, entonces la relación será muy grande y podrá considerarse infinita, que es lo que llamamos derivada.
Supongamos que y=x/x. Si x tiende a cero aquí, el denominador también tiende a cero, pero su relación es 1, por lo que el límite es 1.
Curva continua no derivada
Por ejemplo, la función de Weierstrass es una función real que es continua y no diferencia en todas partes. La función de Weierstrass es una función que no se puede dibujar con un bolígrafo, porque la derivada de cada punto no existe y el pintor no puede saber en qué dirección debe dibujarse cada punto. La pendiente de los puntos de la función de Weierstrass tampoco existe. La función Weierstrass lleva el nombre del matemático alemán del siglo XIX Carl Theodor Wilhelm Weier Strass (1815-1897). Históricamente, la función de Weierstrass es un famoso contraejemplo matemático. Antes de Weierstrass, los matemáticos no tenían un conocimiento profundo de la continuidad de funciones. Muchos matemáticos creen que una curva de función continua, excepto en algunos puntos especiales, siempre tiene una pendiente en cada punto. La aparición de la función de Weierstrass mostró la existencia de las llamadas funciones "mal condicionadas" y cambió la forma en que los matemáticos de la época veían las funciones continuas.