¿Es correcto el índice z?

En primer lugar, tu respuesta es obviamente incorrecta. Cuando x=y=z, A x * b y * c z = 1 no se puede deducir. Sólo se puede inferir que los tres primeros son iguales. Primero regrese y mire las preguntas detenidamente.

Aquí tienes un consejo.

Supongamos que su tema es

a^x * b^y * c^z=a^y * b^z *c^x = a^z * b^x * c^y=k

Toma el logaritmo de la fórmula anterior (sin importar cuál sea la base), obtienes

x*lg(a) y*lg(b) z *lg (c)=lg(k)

x*lg(b) y*lg(c) z*lg(a)=lg(k)

x*lg (c ) y*lg(a) z*lg(b)=lg(k)

Resuelve la ecuación anterior

x=y=z=lg(k)/( lg(a ) lg(b) lg(c))