¿Cuál es el uso del infinitivo+de+último+minuto+para+hacer+algo?

Hola, aquí tienes el infinitivo como atributo posposicionado, modificando minuto, que significa "el último minuto para hacer algo".

Ejemplos de uso similares:

La reunión que se celebrará el próximo domingo ha sido cancelada. La reunión prevista para el próximo sábado ha sido cancelada.

Aquí celebrarse se utiliza el infinitivo como atributo posposicional de reunión, y es pasivo, indicando que la reunión "se celebró".