Preguntas reales del concurso de matemáticas SMC

x = 1/a3(B+C)= ABC/a2(A B+BC)= 1/a2(1/b+ 1/C). Entonces sólo necesitamos demostrar que x 2/(y+z)+y 2/(x+z)+z 2/(x+y) ≥ 3/2, porque x 2/(y+z)+(y +z) /4 ≥ x, y 2/(x+) obtiene un certificado

Básicamente desigual

Consulte lo siguiente:

1/(a ?(b +c))+1/(b?(a+c))+1/(c?(a+b))

=[1/(a?(b+c) )+1 /(b?(a+c))+1/(c?(a+b))](abc)?

=(b?c?)/(b+c)+(a?c?)/(a+c)+(a?b?)/(a+b)

& gt=(bc+ac+ab)? /[2(a+b+c)]

Aquí hay una desigualdad importante, que en realidad es una variante de la desigualdad de Cauchy, que se explica a continuación.

=[a? ¿b? +b? ¿do? +¿? ¿do? +2(a?bc+ab?c+abc?)]/[2(a+b+c)]

¿Por uno? ¿b? +b? ¿do? +¿? ¿do?

=(1/2)(2a?b?+2b?c?+2a?c?)

=(1/2)(a?b?+b? ¿+a? +a? (a?+c?)+a? (c?+b?)+c? (b?+a?)]

Usa la desigualdad media

& gt=(1/2)[b? (2ac)+a? (2aC)+c? (2ab)]

=ab? c+a? ¿bc+abc?

=a+b+c

Entonces [a? ¿b? +b? ¿do? +¿? ¿do? +2(a?bc+ab?c+abc?)]/2(a+b+c)

& gt=[a+b+c+2(a+b+c)] /[2(a+b+c)]

=3(a+b+c)/[2(a+b+c)]

=3/2 certificado ¿Completada

Desigualdad de Cauchy

(a?+b?+c?)(x?+y?+z?)& gt=(ax+by+cz)?

Convertir a

[(a?/x)+(b?/y)+(c?/z)](x+y+z)>=(a? +b? +c? )?

Dividir ambos lados entre (x+y+z), es decir,

(a?/x)+(b?/y)+( c ?/z)>=(a?+b?+c?)?/(x+y+z)

Un paso clave anterior se demuestra utilizando esta desigualdad.

Espero adoptar O(∩_∩)O~