¿Existe una solución entera para x al cubo + y al cubo = z al cubo?

No, esta es la teoría básica de la ley de Fermat.

Para cubos y superiores, no hay una solución entera posible.

La solución incremental de la solución entera de la ecuación de Fermat x ^ n + y ^ n = z ^ n

Zhuang Hongfei

(Fábrica de equipos ferroviarios de Liaoyang 111000 )

La prueba de la relación entre las soluciones enteras de la ecuación de Fermat x^n+y^n = z^n ha sido controvertida en la comunidad matemática durante muchos años. Este artículo utiliza el método de geometría plana para analizar exhaustivamente las condiciones de existencia de la solución entera del triángulo rectángulo A 2 + B 2 = C 2 longitud del lado, y propone una evaluación algebraica multivariada por elementos. Se da la "regla de cálculo A fija" para la solución entera de un triángulo rectángulo con longitud de lado A 2 + B 2 = C 2. "Reglas de cálculo para proporciones crecientes"; "Reglas para fórmulas de diferencias fijas"; "Reglas de secuencia de verificación de paridad de valores A" son condiciones algebraicas y métodos prácticos para soluciones de enteros cuadrados; este artículo propone potencias absolutas y no potencias absolutas del álgebra unaria; concepto. Este artículo utiliza la propiedad de la relación creciente de la misma potencia y la propiedad de la fórmula de diferencia de términos creciente de la potencia entera para transformar inteligentemente el problema de determinar la solución entera de la ecuación indefinida tridimensional original: la ecuación de Fermat x^n+ y^n = z^n en Resolver ecuaciones en una variable.

Palabras clave: solución incremental al poder absoluto, no poder absoluto, fórmula de diferencia incremental de potencias enteras adyacentes

Introducción: En 1621, el matemático francés Fermat estaba leyendo al antiguo matemático griego Di Cuando Fantu escribió el libro "Aritmética", propuso que la ecuación X^N+Y^N = Z^N tiene infinitas soluciones enteras cuando n=2, cuando N>. Y afirmó que hizo una prueba maravillosa en ese momento. Esto es lo que las generaciones posteriores llamaron el último teorema de Fermat. Hasta el día de hoy, la respuesta a esta pregunta sigue siendo compleja, larga, controvertida y confusa.

Este artículo utiliza la relación entre las longitudes de los lados y las áreas de triángulos y cuadrados rectángulos para establecer un nuevo método teórico y práctico intuitivo, conciso para la solución de enteros cuadrados de la ecuación de Fermat. Este artículo utiliza métodos algebraicos para analizar y demostrar la relación de solución entera de la ecuación de Fermat x^n+y^n = z^n cuando el exponente n > 2.

Definición 1. Ecuación de Fermat

La gente está acostumbrada a llamar ecuación de Fermat a la relación x^n+y^n = z^n. Su significado profundo es que una vez establecido el índice n, sus x, y y z son todos números enteros.

En las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo, a menudo se encuentra que A, B y C son todas relaciones enteras, como 3, 4 y 5 en un triángulo rectángulo. En este momento, podemos obtener 3 ^ 2 + 4 ^ 2 = 5 ^ 2 del teorema de Pitágoras, por lo que cuando la potencia es 2, la ecuación de Fermat y el teorema de Pitágoras son del mismo orden. Cuando el exponente es mayor que 2, el estudio de las soluciones enteras de la ecuación de Fermat, desde Euler hasta Dirichlet, se ha convertido en una rama importante de las matemáticas.

Definición 2. Método de solución incremental

En la evaluación y el cálculo del álgebra multivariante, se introducen términos desconocidos distintos de los términos originales para formar una relación de ecuación y participar en la evaluación y el cálculo. Al método de encontrar elementos desconocidos en expresiones algebraicas multivariadas lo llamamos método de suma de elementos.

Usar el método de sumar elementos para encontrar el valor de una expresión algebraica multivariante a veces puede hacer que problemas muy complejos sean extremadamente simples.

A continuación, usaremos el método de suma de elementos para evaluar la relación solución entera de los tres lados de un triángulo rectángulo A 2 + B 2 = C 2 .

1. La longitud del lado de un triángulo rectángulo A^2+B^2 = C^2 solución entera "fija una regla de cálculo"

Teorema 1. Si A, B y C son los tres lados de un triángulo rectángulo, Q es el término incremental y Q≥1, entonces se cumple la condición:

a≥3

b=(a^2 -Q^2)÷2Q

c= Q+b

En este momento, A^2+B^2 = C^2 es el número entero solución;

Prueba: En la relación del área cuadrada, el área calculada a partir de la longitud del lado de A es A ^ 2, si (A ^ 2-Q ^ 2) ÷ 2q = B (donde Q es el término incremental, B y Q son números enteros), el área A^2 se puede descomponer en A^2 = Q^2+Q b+ QB, y la relación de descomposición puede ser la siguiente.

Q2 Qb

Su espacio es exactamente un cuadrado con una longitud de lado b. Complementando el área del espacio b 2, podemos obtener una longitud de lado.

Quarterback

Para un cuadrado con Q+b, tomamos Q+B = C, según el teorema de Pitágoras A ^ 2 + B ^ de la relación de longitud del lado de un derecho triángulo 2 = C ^ 2, podemos saber que A, B y C en este momento son las longitudes de los tres lados enteros del triángulo rectángulo.

Así que se demuestra el Teorema 1.

Ejemplos de aplicación:

Ejemplo 1. ¿Usar las reglas de cálculo de A fija para encontrar la solución entera cuadrada de la longitud del lado de un triángulo rectángulo cuando la longitud del lado es 15?

Solución: tome un ejemplo de aplicación: A es 15 y el incremento opcional Q es 1. Según las reglas de cálculo de A, obtenemos:

a= 15

{ b=(a^- q^2)÷2q=(15^2-1^2 )÷ 2 = 112

c = Q+b = 1+112 = 113

Entonces la solución del entero cuadrado es 15 2+112 2 = 113 2.

Luego toma A como 15 y selecciona el elemento de incremento Q como 3. Según las reglas de cálculo de A, podemos obtener:

a= 15

b=(a^2-q^2)÷2q=(15^2-3^ 2 )÷6=36

c=Q+b=3+36=39

Entonces la solución del entero cuadrado es 15 ^ 2 + 36 ^ 2 = 39 ^ 2.

Cuando a=3, 4, 5, 6, 7, etc. , la cobertura de la función se resolverá con diferentes valores de q.

2. La solución entera de la longitud del lado de un triángulo rectángulo A^2+B^2 = C^2 "Regla de cálculo de la razón aumentada"

Teorema 2. Si A^2+B^2 = C^2 es el conjunto de soluciones enteras para las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo, entonces (an) 2+(BN) 2 = (CN) 2 (donde n=1, 2, 3... ) son todas soluciones enteras.

Demostración: Según el teorema de Pitágoras, si A^2+B^2 = C^2 es una solución entera, se obtendrá un triángulo rectángulo A^C con un número entero de lados. De acuerdo con el principio de amplificación proporcional de segmentos de línea planos, amplifica el triángulo para obtener 2 a2 C;

b 2b

3a 3c4a 4c... De la condición de que a, b , c son números enteros, 2a, 2b, 2c;

3b 4b

3a, 3b, 3c; 4a, 4b, 4c... na, nb, nc son todos números enteros.

Así que se demuestra el teorema 2.

Ejemplos de aplicación:

Ejemplo 2. ¿Demostrar que 303 2+404 2 = 505 2 es una solución entera?

Solución; 3^2+4^2 = 5^2 del triángulo rectángulo 3^5 es la solución entera. Según el medidor de razones,

cuatro

Para el algoritmo, cuando la relación del triángulo rectángulo 3×1015×101 es la longitud del lado, debe haberla.

4×101

303 2+404 2 = 505 2 es la solución entera.

3. Longitud del lado del triángulo rectángulo A 2 + B 2 = C 2 solución entera "regla de la fórmula de diferencia definida"

3a + 2c + n = a1

(donde n = la diferencia entre B y A, n=1, 2, 3...)

Teorema 3. Si el triángulo rectángulo a2+B2 = C 2 es una solución entera que satisface la relación b-a=n, entonces la matriz cuadrada formada por la fórmula anterior 3a+2c+ n = a1, a2, A3 AI ^ 2 + Bi ^ 2 = CI ^ 2... Se adquiere IA.

Prueba: Supongamos que n es 1, de los tres lados 3, 4, 5 de un triángulo rectángulo, obtenemos 3^2+4^2 = 5^2, donde n=b-a=4-3 =1. Según 3a+2c+1= a1, la fórmula de diferencia tiene las siguientes reglas.

En este momento, obtenemos A1=3×3+2×5+1=20.

20 ^ 2+21 ^ 2 = 29 ^ 2 Continúe usando la fórmula para calcular:

En este momento, a2 = 3×22×29+1 = 119 .

119 2+120 2 = 169 2 continúa calculándose mediante la fórmula.

a3 = 3×119+2×169+1 = 696.

696^2+697^2=985^2

Entonces la diferencia fija es 1.

Ahora tomamos n como 7, tenemos un triángulo rectángulo de 21^2+28^2 = 35^2, donde n=28-21=7. Según 3a+2c+7 = a1, la fórmula de diferencia fija es la siguiente:

En este momento se obtiene a 1 = 3×21+2×35+7 = 140.

140 2+147 2 = 203 2Continúa usando la fórmula para calcular:

A2=3×142×203+7=833.

833 2+840 2 = 1183 2 Continúe usando la fórmula para calcular:

a3 = 3×833+2×1183+7 = 4872, que se obtiene en este momento .

4872^2+4879^2=6895^2

…

Por lo tanto, la diferencia fija es 7.

Supongamos que n es 129, tenemos un triángulo rectángulo 387 2+516 2 = 645 2, donde n=516-387=129, según 3a+2c+129= a1.

En este momento se obtiene un 1 = 3×387+2×645+129 = 2580.

2580 2+2709 2 = 3741 2 Continúe usando la fórmula para calcular:

a2 = 3×2582×3741+129 = 15351, que se obtiene en este momento .

15351 2+15480 2 = 21801 2 Continúa usando la fórmula para calcular:

a3 = 3×15351+2×21801+129 = 89784.

89784^2+89913^2=127065^2

Por lo tanto, la diferencia fija es 129.

Se establecen así las reglas de cálculo de la diferencia fija n.

Así que se demuestra el Teorema 3.

4. Solución de entero cuadrado A^2+B2 = C^2 Regla de secuencia par-impar de valor A:

Teorema 4. Si A^2+B2 = C^2 son tres lados enteros de un triángulo rectángulo, entonces se debe establecer la relación de serie par-impar de los siguientes valores;

(a) Columna impar a:

Si la tabla A es un número impar de 2n+1 (n=1, 2, 3...), entonces la relación entre las soluciones de enteros cuadrados de las columnas impares es:

a=2n+1

c=n^2+(n+1)^2

b=c-1

Síndrome: Cuando el La condición de esta fórmula es n=1, 2, 3... respectivamente, obtenemos:

3^2+4^2=5^2

5^2+12 ^2=13^2

7^2+24^2=25^2

9^2+40^2=41^2

11 ^2+60^2=61 ^2

13^2+84^2=85^2

Por lo tanto, la columna impar Se mantiene una relación.

(2) Serie de números pares A:

Si la tabla A es un número par de tipo 2n+2 (n=1, 2, 3...), entonces una serie de números enteros cuadrados pares La relación entre las soluciones es:

a=2n+2

c=1+(n+1)^2

b =c-2

Síndrome: Cuando las condiciones de esta fórmula se toman como n=1, 2, 3...respectivamente obtenemos:

4^2+3^2 =5^2

6^2+8^2=10^2

8^2+15^2=17^2

10^2 +24^2= 26^2

12^2+35^2=37^2

14^2+48^2=50^2

…

Por lo tanto, la relación A de la secuencia par se cumple.

Por lo tanto, se cumple la relación del Teorema 4.

Por tanto, entre los tres lados del triángulo rectángulo A, B y C:

La diferencia entre B y A puede ser 1, 2, 3...

a La diferencia entre C y B puede ser 1, 2, 3...

La diferencia entre C y A puede ser 1, 2, 3...

La diferencia entre C y B puede ser 1, 2, 3…

Hay infinitas soluciones para enteros cuadrados de diferencias fijas;

Cada entero cuadrado de diferencias fijas tiene infinitas soluciones.

Arriba dimos las condiciones algebraicas y los métodos prácticos de soluciones de enteros cuadrados. También podemos demostrar algebraicamente que cuando el exponente n > 2, la ecuación de Fermat x^n+y^n = z^n no tiene solución entera. La prueba es la siguiente:

En primer lugar, demostramos que la ley de la razón creciente es válida para cualquier potencia.

Teorema 5: Si A, B y C son todos números enteros diferentes mayores que 0, y M es un número entero mayor que 1, si A M+B M = C M+D M+E la misma potencia Se establece la relación de M, luego de que la relación de A, B, C, D, E aumenta, la misma relación de poder sigue siendo válida.

Demostración: En la fórmula original del teorema, a m+b m = c m+d m+e m, tomando la relación de aumento como n, n > 1,

obtenemos: (n a ) m+(nb) m = (NC) m+(nd) m+(ne) m.

La fórmula original es: n m (a m+b m) = n m (c m+d m+e m)

La fórmula original se obtiene eliminando n m en ambos lados.

Entonces, existe una regla de cálculo para aumentar la relación entre la misma potencia y la fórmula de diferencia. Después de aumentar la relación, la misma potencia sigue siendo la misma.

Así que se demuestra el Teorema 5.

Teorema 6, si A, B, C son enteros diferentes y se cumple la relación A M+B = C M, donde B > 1 y B no es la misma potencia de A y C, cuando A, B , Cuando C aumenta año tras año, B todavía no es A, la misma potencia de C..

Prueba: tome la fórmula original del teorema A M+B = C M.

Establezca la tasa de aumento como n, n > 1 y obtenga: (na) m+n MB = (NC) m.

La fórmula original es: n m (a m+b) = n MC m.

La fórmula original se obtiene eliminando n m por ambos lados.

Dado que b no se puede convertir en la misma potencia de a y c, n^mb no se puede convertir en la misma potencia de a y c.

Por lo tanto, en la misma potencia de * * * La relación de la ecuación sigue siendo válida después de que la tasa de aumento incluye varios términos de la misma potencia y las fórmulas de diferencia no son de la misma potencia. Entre ellos, los términos con la misma potencia seguirán teniendo la misma potencia después de aumentar la proporción, y los términos con diferentes potencias seguirán teniendo la misma potencia después de aumentar la proporción.

Así que se demuestra el Teorema 6.

Propiedades absolutas de potencia y no potencias absolutas del álgebra unaria

Definición 3, una potencia absoluta.

En una expresión algebraica desconocida de una variable, si el valor desconocido es un número entero mayor que 0, entonces el valor de la expresión algebraica es una potencia perfecta, y llamamos a la expresión algebraica una potencia absoluta. Por ejemplo: n 2+2n+1, n 2+4n+4,

N 2+6n+9,... son potencias absolutas de dos y n 3+3n 2+3n+1; , n 3+6n 2+12n+8,... son todas potencias cúbicas absolutas.

La forma general es el término de expansión de (n+b) m (m > 1, b es un término constante).

La Definición 4 definitivamente no es una superpotencia.

En una expresión algebraica con un número desconocido, si los valores de las incógnitas son todos números enteros mayores que 0, entonces el valor de la expresión algebraica no es una potencia perfecta. A la expresión algebraica la llamamos en. Esta vez absoluto No es un poder. Por ejemplo: n 2+1, n 2+2, n 2+2n, ... son definitivamente potencias no cuadráticas y n^3+1, n^3+3n^2+1, n^3+3n; +1 , n^2+3n+1, n^3+6n^2+8... son definitivamente no cúbicos.

Cuando el número de términos en un álgebra unaria es pequeño, es fácil determinar si el álgebra es absolutamente impotente. Por ejemplo, n 2+n definitivamente no es una potencia, y n 7+n definitivamente no es una potencia. Pero cuando hay muchos términos en el álgebra, las condiciones para obtener absolutamente ningún poder serán cada vez más estrictas.

La forma general de la fórmula absolutamente impotente de una variable es: restar un término del término de expansión de (n+b) m (m > 2, b es un término constante).

Razonamiento: una fórmula de álgebra de potencias que no es una fórmula de potencia M-ésima absoluta o una fórmula de potencia no-M-ésima absoluta inevitablemente producirá un número de potencia M-ésima completo cuando la cantidad desconocida toma una cierta valor. Por ejemplo, 3n 2+4n+1 no es absolutamente no cúbico. Cuando n=1, 3n^2+4n+1 = 8 = 2^3, 3n^2+3n+1 no es una potencia absoluta no cuadrática. Cuando n=7,

Razonamiento: el álgebra unaria sin términos de potencia no es único para ninguna potencia. 2n+1=9=3^2,2n+1=49=7^2……4n+4=64=8^2,4n+4=256=16^2……2n+1=27=3^ 3,2n+1=125=5^3……

Se demuestra que la expresión algebraica de una variable tiene m potencias absolutas no cuadráticas;

En la expresión algebraica de una variable, la expresión algebraica del número desconocido. Diferentes valores darán como resultado diferentes resultados de cálculo. La relación correspondiente entre números desconocidos y resultados de cálculos algebraicos es única, la ecuación es reversible y es una relación de solución definida pura. Este es el axioma algebraico del álgebra unaria. Es decir, la expresión algebraica se puede encontrar sustituyendo el valor desconocido. Dado el valor de la expresión algebraica, el valor desconocido se puede encontrar secuencialmente. Utilizando estas propiedades del álgebra unaria, podemos realizar una clasificación par-impar, una clasificación de restos y una clasificación de potencia de números enteros.

Cuando el término constante es 1, la forma fija de la expresión algebraica de cuatro términos de un número cúbico perfecto es (n+1)3 = n ^ 3+3n ^ 2+3n+1, donde * * *Consta de cuatro elementos monomios que contienen dos términos de potencia. Para tres de estas expresiones algebraicas, bajo la premisa de mantener los términos constantes sin cambios, si bloquea tres de ellas, puede obtener tres álgebras unarias diferentes que deben contener términos de potencia, n^3+3n^2+ 1,n^ 3+3n+1,3n^2+3n+1. Para estas tres álgebras, dado que estas tres álgebras forman una relación algebraica fija de diferencia única definida con el álgebra cúbica original, la existencia de esta relación algebraica no tiene nada que ver con el valor desconocido. Esta relación es:

(n+1)^3-3n= n^3+3n^2+1

(n+1)^3-3n^2= n ^3+3n+1

(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1

Entonces obtenemos: cuando n=1, 2, 3, 4, 5...

n^3+3n^2+1≠(n+1)^3

n^3+3n+1≠(n+ 1 )^3

3n2+3n+1≠(n+1)^^3

En otras palabras, los valores de estas tres expresiones algebraicas no pueden ser iguales a ( n+1 )número cúbico perfecto en 3 formas.

Cuando n=1, 2, 3, 4, 5..., entonces (n+1)3 = n ^ 3+3n ^ 2+3n+1 es el valor de todos los números enteros a partir de 2 Cubo, y los números enteros menores que 2 son solo 1,1.

n^3+3n^2+1=5≠1

n^3+3n+1=5≠1

3n^2+3n +1=7≠1

Se deduce que cuando n=1, 2, 3, 4, 5..., la expresión algebraica n 3+3n 2+1, n 3+3n+1, 3n 2+3n+1 no es igual a todos los números enteros. Estas expresiones algebraicas son expresiones cúbicas, absolutamente impotentes.

A través del método anterior, podemos demostrar la expresión algebraica unaria: n 4+4n 3+6n 2+1, n 4+4n 3+4n+1, n 4+6n 2+4n+1 , 4n 3+6n. Estas expresiones algebraicas son expresiones cuadráticas que son absolutamente impotentes.

Se puede demostrar que tras bloquear cualquiera de los términos de expansión de la expresión algebraica unaria (n+1) m con potencia mayor que 5, se pueden obtener m diferentes expresiones algebraicas unarias, y al tomar n =1, 2, 3, 4, 5...estas expresiones algebraicas son potencias absolutas no cuadradas de grado m.

Ahora usamos métodos algebraicos para dar la fórmula de diferencia del incremento de potencia al cuadrado de dos enteros adyacentes n y n+1;

Cuando la potencia es 2, hay: (n +1)2-n^2.

=n^2+2n+1-n^2

=2n+1

Por lo tanto, la fórmula de diferencia de los números cuadrados de enteros adyacentes cuadráticos es 2n+1.

Dado que 2n+1 no contiene una relación de potencia, todas las potencias impares se pueden expresar como 2n+1, por lo que cuando 2n+1 es un número cuadrado perfecto, debe haber n ^ 2+(2√ 2norte+ 1)2 =(norte+1). Sin embargo, la solución entera cuadrada de xyz coprimo para z-x > 1 no se puede obtener utilizando la ley de la razón creciente. El método para obtener estas soluciones de enteros cuadrados es el siguiente:

(n+2) 2-n 2 = 4n+4 es un número cuadrado perfecto, la proporción de todos los enteros cuadrados de z-x=2 aumenta después resolviendo;

Cuando (n+3) 2-n 2 = 6n+9 es un número cuadrado perfecto, obtenga la razón de todos los números enteros cuadrados de z-x=3.

Cuando (n+4) 2-n 2 = 8n+16 es un número cuadrado perfecto, obtenga la razón creciente de todos los números enteros cuadrados z-x=4.

……

Esta relación creciente de términos constantes se aplica a todos los números enteros. Cuando n = 1, 2, 3..., se pueden obtener todas las soluciones de números enteros cuadrados.

Por lo tanto, cuando el exponente es 2, se cumple la ecuación de Fermat x n+y n = z n.

Al mismo tiempo, debido a que todas las potencias impares se pueden expresar como 2n+1, y algunas potencias pares se pueden expresar como 4n+4, 6n+9, 8n+16..., por lo tanto, hay debe ser x Relación de solución entera de ^2+y^n = z^2.

A la tercera potencia, existen: (n+1)3-n^3.

=n^3+3n^2+3n+1-n^3

=3n^2+3n+1

Así que enteros cúbicos adyacentes La fórmula de diferencia de números cúbicos es 3n 2+3n+1.

Debido a que 3n 2+3n+1 es la fórmula que falta de (n+1) 3, todavía contiene una relación de potencia y es una fórmula cúbica absoluta sin potencia. Entonces, cuando n es cualquier número entero, el valor de 3n 2+3n+1 no es un número cúbico completo, por lo que no hay n ^ 3+(3√3n 2+3n+1)3 =(n+1) entre los enteros 3, es decir, z-x = 65438+. Sin embargo, las ecuaciones de Fermat con xyz coprimo para z-x > 1 no pueden expresarse mediante la ley de proporciones crecientes. Estas ecuaciones cúbicas de Fermat se expresan de la siguiente manera:

De (n+2)3-n^3 = 6 N2+12n+8 Por lo tanto, n es cualquier número entero cuyo valor no sea perfectamente cúbico;< /p >

(n+3) 3-n 3 = 9N2+27N+27, por lo que n es cualquier número entero y su valor no es un número cúbico perfecto;

De (n+4)3 -n ^ 3 = 12 N2+48n+64 Por lo tanto, n es cualquier número entero cuyo valor no sea un número cúbico perfecto;

......

Esta relación creciente de Los términos constantes se aplican a todos los números enteros. Cuando n = 1, 2, 3..., la relación de potencia cúbica de la ecuación de Fermat cubrirá todos los números enteros después de aumentar la escala.

Por lo tanto, la ecuación de Fermat x^n+y^n = z^n no tiene solución entera cuando el exponente es 3.

Existe un cuarto tipo de poder; (n+1)^4-n^4

=n^4+4n^3+6n^2+4n+1-. n^ 4

=4n^3+6n^2+4n+1

Por lo tanto, la fórmula para la diferencia entre la cuarta potencia y la cuarta potencia de números enteros adyacentes es 4n 3 +6norte 2+ 4norte+1.

Debido a que 4n 3+6n 2+4n+1 es la fórmula del término faltante de (n+1) 4, todavía contiene una relación de potencia y es una cuarta fórmula de potencia absoluta no cuadrada. Entonces, cuando n es cualquier número entero, el valor de 4n 3+6n 2+4n+1 no es una cuarta potencia perfecta, por lo que no hay n ^ 4+ (4√4n 3+6 N2+4n+1) entre números enteros. 4 =(n+1)4, que es Z-. Sin embargo, las ecuaciones de Fermat con xyz coprimo para z-x > 1 no pueden expresarse mediante la ley de proporciones crecientes. La forma de expresar estas ecuaciones de Fermat a cuarta potencia es la siguiente:

by(n+1)4-n ^ 4 = 8n 3+24 N2+32n+16 Por lo tanto, n es cualquier número entero cuyo valor sea no cuarta potencia completa;

De (n+1)4-n ^ 4 = 12n 3+54 N2+108n+81 Por lo tanto, n es cualquier número entero cuyo valor no sea la cuarta potencia completa

p>

by(n+1)4-n ^ 4 = 16n 3+96 N2+256n+256 Por lo tanto, n es cualquier número entero cuyo valor no es la cuarta potencia perfecta;

.. .

Esta relación creciente para términos constantes se aplica a todos los números enteros. Cuando n = 1, 2, 3..., la cuarta relación de potencia de la ecuación de Fermat cubrirá todos los números enteros después de aumentar la escala.

Por lo tanto, la ecuación de Fermat x^n+y^n = z^n no tiene solución entera cuando el exponente es 4.

Cuando la potencia es m, la fórmula de diferencia de las potencias de enteros adyacentes es:

(n+1)^m-n^m

=n^ m +mn^m-1+…+…+mn+1-n^m

=mn^m-1+…+…+mn+1

Entonces el Mth la potencia es adyacente La fórmula de diferencia del término de suma de números enteros elevados a la M-ésima potencia es Mn m-1+…+…+Mn+1.

Debido a que Mn m-1+…+Mn+1 es la fórmula del término faltante de (n+1) m, todavía contiene una relación de potencia y es una fórmula de potencia absoluta no cuadrada de grado m. Entonces, cuando N es cualquier número entero, el valor de Mn m-1+...+Mn+1 no es una potencia perfecta de m, por lo que no hay N m+(m √ Mn m-1+...+Mn+ 1) entre números enteros. Sin embargo, las ecuaciones de Fermat con xyz coprimo para z-x > 1 no pueden expresarse mediante la ley de proporciones crecientes. La forma de expresar estas ecuaciones de Fermat en términos de m potencias es la siguiente:

De (n+2)m-n m = 2mn m-1+…+2m-1mn+2m Por lo tanto, n es cualquier número entero cuyo valor no es una potencia completa de m;

De (n+3)m-n m = 3mn m-1+…+3m-1mn+3m Por lo tanto, n es cualquier número entero cuyo valor no es una m completa potencia;

De (n+4)m-n m = 4mn m-1+…+4m-1mn+4m, por lo tanto, n es cualquier número entero cuyo valor no sea una m potencia completa;

...

Esta relación creciente para términos constantes se aplica a todos los números enteros. Cuando n = 1, 2, 3..., la m-ésima relación de potencia de la ecuación de Fermat cubrirá todos los números enteros después de aumentar la proporción.

Entonces la ecuación de Fermat x^n+y^n = z^n no tiene solución entera cuando el exponente es m.

Entonces, cuando el exponente n > 2, la ecuación de Fermat x^n+y^n = z^n nunca tendrá una solución entera.

Así pues, el último teorema de Fermat, que ha durado más de 300 años, es un número elemental igual que la conjetura de Goldbach.

Comprende el problema.

Encuestado: Danchi Deyouyi-Aprendiz de Mago Nivel 2 8-5 13:57

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Cómo demostrar el último teorema de Fermat

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Solo es necesario demostrar que X^4+Y^4 = Z^4, X^P+Y^P = Z^P (P es un número primo impar) no tiene solución entera.

Encuestado: lshhy-Mago Avanzado Nivel 6 8-4 17:14

Hay muchas personas en la historia que no han logrado ningún logro en sus trabajos principales, pero sí han logrado grandes logros en su tiempo libre. Fermat es un ejemplo clásico. Hoy en día la gente menciona a Pierre de Fermat (1601 ~ 1665) principalmente porque era un político o juez, pero porque era un excelente matemático aficionado. Fermat logró grandes logros en muchos campos de las matemáticas, pero lo que realmente lo hizo famoso fue la conjetura conocida como el último teorema de Fermat.

La expresión del último teorema de Fermat es muy sencilla: para números enteros positivos, es imposible escribir una potencia mayor que 2 veces como la suma de dos potencias de la misma potencia. En otras palabras, la ecuación xn+yn = Zn, cuando n > 2, no tiene solución entera positiva. En el margen de un libro, Fermat escribió: Tengo una prueba muy hermosa de esta proposición, pero el margen aquí es demasiado pequeño para escribirla.

Desde entonces, innumerables sabios, incluidos los grandes matemáticos Euler y Cauchy, han hecho todo lo posible para lograr este objetivo. Aunque cada vez dieron un pequeño paso adelante, no lograron demostrar de manera concluyente el último teorema de Fermat. Durante más de 300 años, muchas personas han afirmado haber encontrado una solución a este enigma, pero siempre han sido revocadas. En lo que respecta al último teorema de Fermat, la demostración tiene poca importancia para el desarrollo de las matemáticas. Pero, por un lado, esto es un desafío a la sabiduría; por otro, los matemáticos han obtenido muchos beneficios inesperados en el proceso de demostrar el último teorema de Fermat, y se han producido algunas ramas y métodos matemáticos nuevos en su estudio. Por tanto, la demostración del último teorema de Fermat siempre ha sido demostrada por personas.

Preocupación.

También hay muchos episodios sobre el último teorema de Fermat, en los que el alemán Paul Wolfskehl creó un fondo especial para el último teorema de Fermat. Según la creencia popular, Wolfskehl intentó acabar con su vida a causa de un amor roto. Un tiempo antes de pensar que estaba listo para dispararse a tiempo a medianoche, descubrió un artículo sobre el último teorema de Fermat. Sucedió que el propio Wolfskehl era un entusiasta de las matemáticas, por lo que inconscientemente se perdió en el periódico y se perdió la hora prevista para el suicidio. Más tarde, Wolfskehl abandonó la idea del suicidio y dejó un testamento antes de su muerte, entregando una gran suma de dinero como premio a la primera persona que demostrara el último teorema de Fermat, válido hasta 2007.

Después de siete años de minuciosa investigación, el profesor de la Universidad de Princeton, Andrew Wiles, publicó su demostración del último teorema de Fermat en 1993. Su certificado fue confirmado en 1995, culminando con el premio dejado por Wolfskoyle.

La prueba de Wiles tiene más de 100 páginas e implica muchos de los últimos conocimientos matemáticos. Actualmente, sólo un puñado de personas en el mundo pueden entenderla. Entonces existe tal controversia: algunas personas piensan que ésta no puede ser la prueba en la que pensó Fermat, y debería haber una prueba más simple que no ha sido descubierta, pero mucha gente tiende a pensar que Fermat en realidad no descubrió nada, o simplemente; Pensé en ello. Un enfoque equivocado.

En 1637, cuando Fermat estaba leyendo la traducción latina de la aritmética de Diofantino, escribió junto a la octava proposición en el volumen 11: "Es imposible dividir un número cúbico por la suma de dos números cúbicos. es imposible dividir una cuarta potencia por la suma de dos cuartas potencias, y es aún más imposible dividir una potencia superior a la segunda por la suma de dos potencias de la misma potencia. En este sentido, estoy seguro de que sí. "Es una prueba maravillosa, pero el espacio aquí es demasiado pequeño y no puedo escribirla". Después de todo, Fermat nunca escribió una prueba. Sus otras conjeturas hicieron grandes contribuciones a las matemáticas e inspiraron a muchos matemáticos a interesarse. en esta conjetura. El trabajo relacionado de los matemáticos ha enriquecido el contenido de la teoría de números y promovido el desarrollo de la teoría de números.

El último teorema de Fermat ha sido demostrado durante mucho tiempo para muchos n diferentes. Pero los matemáticos todavía están confundidos acerca de la situación general de los primeros 200 años.

En 1908, el Vlfsk de Alemania anunció que se otorgaría un premio de más de 65.438 millones de marcos a la primera persona que demostrara el teorema dentro de los 100 años posteriores a su muerte.

En 1983, Gerd Faltings demostró la conjunción del modelo y concluyó que cuando N >: 2 (n es un número entero), no hay coprimos A, B, C, tales que an +bn = cn.

En 1986, Gerhard Frey propuso la "conjetura ε": si A, B y C hacen an+bn = cn, es decir, el último teorema de Fermat es incorrecto, entonces la curva elíptica.

y2 = x(x-an)(x + bn)

Será un contraejemplo a la conjetura de Taniyama Chimura. Las sospechas de Frey fueron inmediatamente confirmadas por Kenneth Ribet. Esta conjetura ilustra la estrecha relación entre el último teorema de Fermat y las curvas elípticas y formas modulares.

En 1995, Wiles y Taylor demostraron la conjetura de Taniyama en un caso especial, y la curva elíptica de Frey resultó estar dentro de este caso especial, demostrando así el último teorema de Fermat.

El proceso de Wiles para demostrar el último teorema de Fermat también fue muy dramático. Le llevó siete años obtener gran parte de las pruebas sin que nadie lo supiera. Luego, en junio de 1993, anunció su prueba en una conferencia académica e inmediatamente apareció en los titulares de todo el mundo. Pero durante el proceso de aprobación del certificado, los expertos descubrieron un error muy grave. Luego, Wiles y Taylor pasaron casi un año tratando de remediar la situación, y finalmente lo lograron en septiembre de 1994 con un enfoque que Wiles había abandonado. Su prueba se publicó en 1995 en Annals of Mathematics.

Materiales de referencia:

/home/flt/flt08.htm