¿Qué te gusta?

Like es un verbo transitivo y puede ir seguido directamente del objeto sin to.

Suplemento:

Si quieres expresar “lo que te gusta hacer”, deberás decir.

¿Qué te gusta hacer?

Añadiendo de nuevo:

¿Cuándo empieza?

¿O cuándo empezará?

Después de usar cuándo, no puedes agregar en.