dafe

La primera pregunta:

El cuadrilátero DAFE es un paralelogramo.

[Prueba]

∵△ABD y △BCE son ambos triángulos equiláteros, ∴BD=BA=AD, BE=BC, ∠ABD=∠CBE=60°.

∴∠DBE=∠ABD-∠ABE=60°-∠ABE=∠CBE-∠ABE=∠ABC.

∵BD=BA, BE=BC, ∠DBE=∠ABC, ∴△DBE≌△ABC, ∴DE=AC.

∵△BCE y △ACF son ambos triángulos equiláteros, ∴BC=EC, AF=AC=FC, ∠BCE=∠ACF=60°.

∴∠ACB=∠BCE-∠ACE=60°-∠ACE=∠ACF-∠ACE=∠FCE.

∵BC=EC, AC=FC, ∠ACB=∠FCE, ∴△ABC≌△ECF, ∴AB=FE.

De AB=FE, AB=AD, obtenemos: AD=FE.

De AC=AF, DE=AC, obtenemos: AF=DE.

De AD=FE, AF=DE, obtenemos: DAFE es un paralelogramo.

Segunda pregunta:

Cuando ∠BAC=150°, el paralelogramo DAFE es un rectángulo.

[Demostración]

∵△ABD y △ACF son ambos triángulos equiláteros, ∴∠BAD=∠CAF=60°.

Cuando ∠BAC=150°, ∠DAF=360°-∠BAC-∠BAD-∠CAF=360°-150°-60°-60°=90°.

∴En este momento, el paralelogramo DAFE es un rectángulo.