Preguntas del examen de la Liga de Matemáticas de la Escuela Secundaria del Concurso Nacional de Matemáticas 1998-2005

1 Preguntas de opción múltiple: (*** 5 preguntas, cada pregunta vale 6 puntos, con una puntuación total de 30 puntos. Cuatro opciones se dan para cada pregunta a continuación, codificadas A, B, C, D, entre las cuales una y solo una opción es correcta. Por favor, coloque el código de la opción correcta entre paréntesis después de la pregunta. Se otorgarán cero puntos por no completar. , completar más o completar incorrectamente)

1, como se muestra en la imagen, hay una hoja de papel rectangular ABCD, AB=8, AD=6. Dobla el papel de modo que el borde AD caiga sobre el borde AB. El pliegue es AE. Luego dobla △AED hacia la derecha a lo largo de DE. La intersección de AE ​​y BC es F, entonces el área de △CEF es ().

2 (B)4 (C)6 (D)8

2 Si M= (x, y son números reales), el valor de M debe ser ().

(a) Número positivo (b) Número negativo (c) Cero (d) Entero

3 Se sabe que el punto I es el centro del triángulo agudo ABC, y son. respectivamente sobre el punto I Puntos de simetría de los lados BC, CA y AB. Si el punto B está en la circunferencia circunscrita de △, ∠ABC es igual a ().

30 (B)45 (C)60 (D)90

4. Supongamos que A=, entonces el entero positivo más cercano a A es ().

18 20 24 25

5. Supongamos que A y B son enteros positivos y satisfacen, entonces es igual a ().

(A)171(B)177(C)180(D)182

Rellena los espacios en blanco: (***5 preguntas pequeñas, cada pregunta pequeña vale 6 puntos , puntuación completa 30 minutos)

6. En la superficie de un reloj redondo, OA representa el segundero y OB representa el minutero (O es el centro de rotación de las dos manecillas). Si son exactamente las 12 en punto, el área de △OAB alcanzará su valor máximo por primera vez después de dos segundos.

7. En el sistema de coordenadas rectangular, la parábola (m >; 0) corta al eje x en dos puntos A y B. Si las distancias desde el punto A y el punto B al origen son OA y OB respectivamente, y Satisface, entonces el valor de m es igual a.

8. Hay dos barajas de cartas. El orden de cada mazo de cartas es: el primer mazo es el rey, el segundo mazo es el rey pequeño, y luego la disposición de los cuatro palos de picas, corazones, diamantes y tréboles. Las cartas de cada palo están dispuestas en el orden de A, 2, 3,..., J, Q, K. Alguien apila las dos barajas de cartas dispuestas como arriba, luego tira la primera carta de arriba a abajo, y pone Pon la segunda carta en la parte inferior, tira la tercera carta, pon la cuarta carta en la parte inferior, y así sucesivamente hasta que solo quede una carta y las cartas restantes estén.

9. Se sabe que D y E son puntos en los lados BC y CA de △ABC respectivamente, BD=4, DC=1, AE=5, EC=2. Conecte AD y BE, se cruzan en el punto P, pasando por el punto P son PQ‖CA y PR‖CB respectivamente, y se cruzan con el lado AB en el punto Q y el punto R respectivamente, entonces la relación entre el área de △PQR y el área de △ABC.

Se sabe que la suma de 10 es un número entero positivo y = 58. Si el valor máximo es a y el valor mínimo es b, entonces el valor de a+b es igual a.

3. Responda las preguntas: (***4 preguntas, cada pregunta tiene 15 puntos, la puntuación total es 60 puntos)

11 Cuando la escuela celebró una reunión deportiva de primavera, varios. Los estudiantes formaron un rectángulo con 8 columnas. Si se agregan 120 personas a la cola original, se puede formar una cola cuadrada; si se reducen 120 personas de la cola original, también se puede formar una cola cuadrada. Pregunte cuántos estudiantes había en la cola rectangular original.

12. Se sabe que P y Q son números primos y que la ecuación cuadrática sobre X tiene al menos una raíz entera positiva. Encuentra todos los pares de números primos (P, Q).

13 Como se muestra en la figura, toma los lados AB, BC y CA de △ABC (△ABC es un triángulo agudo) como hipotenusas para construir triángulos rectángulos isósceles DAB, EBC y FAC. Verificación: (1)AE = DF; (2)AE⊥DF.

14. De 1, 2, ..., 205 * * 205 enteros positivos, ¿cuál es el número máximo que se puede sacar, de modo que para tres números cualesquiera a, b, c (a

Concurso Nacional de Matemáticas para Escuelas Secundarias 2005

Puntuaciones totales de la primera, segunda y tercera pregunta

1~5 6~10 11 12 13 14

Puntuación

1. Pregunta de opción múltiple: (puntuación total: 30 puntos)

1 Como se muestra en la Figura A, ABCD es una hoja de papel rectangular, AB. = 6 cm, AD = 8 cm, E está por encima de AD En un punto, AE = 6 cm Operación: (1) Doble AB en la dirección de AE ​​para que AB y AE se superpongan para obtener un pliegue AF, como se muestra en la Figura B; 2) Use BF como pliegue y doble △AFB hacia la derecha para obtener la Figura C. , entonces el área de △GFC es ()

A.2 B.3 C.4 D.5

2. Si m = 3x2-8xy+9y2-4x+6y +13 (x, y son números reales), entonces el valor de m debe ser ()

A. . Número positivo b. Número negativo c. Cero d. Entero

3 Conocido es el centro del ángulo agudo △ABC, y los puntos A1, B1 y C1 son los puntos de simetría. con respecto a los lados BC, CA y AB. Si el punto B está en el círculo circunscrito de △A1B1C1, entonces ∠ABC es igual a (p>

30 BC a 45 BC

4). Si, el número entero positivo más cercano a A es ()

A.18

5. El número de números enteros que el valor de la función cuadrática está en el rango de 59≤. x≤60 de la variable independiente x es ()

a . 59 b . 120 c . 60

2. )

6. En la superficie del reloj circular, OA representa el segundero y OB representa el minutero (O representa el centro de rotación de las dos manecillas, exactamente a las 12 en punto, el área). de △OAB alcanzará su valor máximo por primera vez en _ _ _ _ segundos

7 En el sistema de coordenadas rectangular, la parábola y el eje X se cruzan en dos puntos A y B. . Si las distancias del punto A y del punto B al origen son OA y OB respectivamente, entonces m = _ _ _

8. el rey pequeño, y luego hay cuatro palos de picas, corazones, diamantes y tréboles. Las cartas de cada palo están dispuestas en el orden de A, 2, 3,..., J, Q y K. Apile el. dos naipes dispuestos arriba, luego tira la primera carta de uno hacia abajo, la segunda carta hacia abajo, la tercera carta hacia abajo, y la cuarta carta hacia abajo... continúa de esta manera hasta allí. Solo queda una carta y las cartas restantes son _ _ _ _ _ _ _

9. Se sabe que D y E son el BC de △ABC y el punto del lado de CA. BD=4, DC=1, AE=5, EC=2. Conecte AD y BE, se cruzan en el punto P, P es PQ‖CA y PR‖CB, se cruzan con el lado AB en los puntos Q y R respectivamente, por lo que la relación entre el área de △PQR y el área de △ABC es _ _ _ _ _ _ _ _ _.

10 Se sabe que x1, x2, x3,...x19 son todos números enteros positivos, x1+x2+x3+...+x19=59, X12+X22+X32+...+. .

En tercer lugar, responda la pregunta (la puntuación total es 60 puntos)

11,8 personas tomaron dos coches con la misma velocidad y corrieron a la estación de tren al mismo tiempo. Cada vehículo tiene capacidad para cuatro personas (excluido el conductor). Uno de los coches se averió a 15 kilómetros de la estación de tren y dejó de comprobar billetes durante 42 minutos. En este momento, el único transporte disponible es otro vehículo. Se sabe que este automóvil solo puede transportar a 5 personas, incluido el conductor, y la velocidad promedio del automóvil es de 60 km/h, y la velocidad promedio de las personas al caminar es de 5 km/h. Intente diseñar dos planos. Estas 8 personas pueden llegar al tren antes de parar para facturar.

12. Cuando la escuela celebró una reunión deportiva de primavera, varios estudiantes formaron 8 colas rectangulares. Si se agregan 120 personas a la cola original, se puede formar una cola cuadrada; si se reducen 120 personas, también se puede formar una cola cuadrada. Pregunte cuántos estudiantes había en la cola rectangular original.

13. Se sabe que p y q son números primos, suponiendo la ecuación cuadrática x2-(8p-10q) x+5pq = 0.

Si hay al menos una raíz entera positiva, encuentre todos los pares de números primos (p, q).

14. Como se muestra en la figura, dos círculos con diferentes radios se cruzan en los puntos A y B. El segmento de línea CD pasa por el punto A y se cruza en los puntos C y D respectivamente. Conecte BC y BD, sean p, q, k los puntos medios de BC, BD y CD respectivamente. m y n son los puntos medios de y respectivamente. Verificar: