Respuestas a la Liga Nacional de Matemáticas de 2001
Guangyi Duan Zhiyi
Al igual que las tres sesiones anteriores, la Competencia Nacional de Matemáticas de Escuelas Secundarias de este año todavía se divide en dos partes: La liga y la prueba adicional, sin embargo, las preguntas de la prueba de este año son obviamente más difíciles que el año pasado, y la puntuación promedio en la División Shaanxi ha bajado casi 60 puntos. Para reflejar el propósito de esta columna, a continuación solo se explican las preguntas del examen de la liga de este año como referencia.
? 1. Preguntas de opción múltiple (la puntuación total de esta pregunta es 36 puntos, cada pregunta es 6 puntos)
? 1. Dado que A es un número real dado, el número de subconjuntos del conjunto m = {x | x2-3x-a2 2 = 0, x ∈ r} es ().
? A.1b.2c.4d.
? Explicación: M representa el conjunto solución de la ecuación X2-3x-A2 2 = 0 dentro del rango de números reales. Como δ = 1 4a2 > 0, M contiene 2 elementos. Entonces el conjunto M tiene 22 = 4 subconjuntos, entonces elige c.
? 2. Proposición 1: En un cuboide debe haber un punto con una altura igual a cada vértice.
? Proposición 2: En un cuboide, debe haber puntos con distancias iguales de todos los lados;
? Proposición 3: En un cuboide debe haber puntos que sean equidistantes de todas las caras.
? Entre las tres proposiciones anteriores, la correcta es ().
? A.0 B.1 C.2 D.3
? Explicación: Dado que la distancia desde el centro del cuboide a cada vértice es igual, la proposición 1 es correcta. Respecto a las proposiciones 2 y 3, en general, en un cuboide (excepto los cubos) no existen puntos equidistantes de cada lado, ni tampoco puntos equidistantes de cada cara. Por lo tanto, esta pregunta sólo tiene la proposición 1, así que elija b.
? 3. Entre las cuatro funciones y = sin | La función par es ().
? A.y=sin|x| B.y=cos|x|
? C.y=|ctgx| D.y=lg|sinx|
? Explicación: Se puede considerar el método de eliminación. y = sin | x | no es una función periódica (puedes hacer un dibujo para juzgar), excluyendo a y = ctgx | ser seleccionado.
? 4. Si ∠ ABC = 60, AC = 12, BC = K, y hay exactamente un △ABC, entonces el rango de valores de K es ().
? A.k=8 B.024,
①
4x 5y 24, b11×24-12×22=0.
? ∴ 2x > 3y, elige uno
Figura 1
? Solución 2: El área plana compuesta por las desigualdades ①, ②, x > 0, y > 0 es la parte sombreada en la Figura 1 (excluyendo el límite). Supongamos que 2x-3y = 2c, entonces c representa la intersección de la línea recta L: 2x-3y = 2c en el eje X. Obviamente, cuando L pasa por el punto (3, 2), el valor mínimo de 2c es 0.
? Descripción: (1) Esta pregunta es similar a la siguiente pregunta de la Liga Nacional de Matemáticas de Escuelas Secundarias de 1983:
? La función dada m = f (x) = ax2-c satisface: -4 ≤ f (1) ≤ -1, -1 ≤ f (2) ≤ 5, entonces f(3) debería satisfacer ().
? A.-7≤f(3)≤26 B.-4≤f(3)≤15
? c .-1≤f(3)≤20d .-28/3≤f(3)≤35/3
? (2) Si los rangos de valores de xey se obtienen de las condiciones ① y ② respectivamente, y luego la conclusión se extrae del rango de valores de 2x-y, es fácil cometer errores. La Opción 1 anterior adopta la idea general y la Opción 2 es intuitiva y confiable.
Consulte [1] para obtener más detalles.
? 2. Complete los espacios en blanco (la puntuación total de esta pregunta es 54 puntos, cada pregunta es 9 puntos)
? 7.La longitud del eje menor de la elipse ρ = 1/(2-cos θ) es igual a _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.
? Nota: Si observa que el polo está en el foco izquierdo de la elipse, puede usar el método de valor especial si presta atención al significado geométrico de la excentricidad e y al parámetro de foco p (la distancia desde el foco al foco; directriz correspondiente), también puede encontrar directamente la longitud del semieje menor en esta pregunta.
Solución 1: De
ρ(0)=a c=1,
obtener
a=2/3,
p>
ρ(π)=a-c=1/3,
c=1/3.
? Por lo tanto b =/3, entonces 2b = 2/3.
? Solución 2: De E = C/A = 1/2, P = B2/C = 1 y B2 = A2-C2, B =/3. Por tanto 2b = 2/3.
? Nota: Esta es una prueba que se ajusta al plan de estudios y no está dentro del alcance del examen de ingreso a la universidad.
? 8. Si los números complejos z1 y z2 satisfacen | Z1 | = 2 y | Z3 | = 3, 3Z1-2Z2 = (3/2)-I, entonces Z1 Z2 = _ _ _ _ _ _ _.
? Nota: Las soluciones dadas en las respuestas de referencia son complicadas. Según las características del problema, la forma triangular de los números plurales parece estar más acorde con las características de pensamiento de los estudiantes y no es complicada.
? Supongamos z1 = 2 (COS α ISIN α), Z2 = 3 (COS β ISIN β), entonces obtenemos 3Z1-2Z2 = (3/2)-I y las condiciones necesarias y suficientes para la igualdad de números complejos.
6(cosα-cosβ)=3/2,
6(sinα-sinβ)=-1
Es decir,
-12 sin((α β)/2)sin((α-β)/2)= 3/2，
12 cos((α β)/2)sin((α-β ) /2)=-1.
? Dividiendo las dos fórmulas, TG (α β)/2) = 3/2.
? De la fórmula general, ¿obtienes
? pecado(α β)=12/13, cos(α β)=-5/13.
? Entonces z 1 . z2 = 6[cos(α β) isin(α β)]
? =-(30/13) (72/13)i.
? Nota: Este problema también se puede resolver utilizando el significado geométrico de los números complejos.
? 9. Si la longitud del lado del cubo ABCD-A1B11 es 1, entonces la distancia entre las líneas rectas A1C1 y BD1 es _ _ _ _ _ _ _ _.
? Explicación: Este es un problema de encontrar la distancia entre dos líneas rectas en diferentes planos. Hay muchas soluciones. Aquí tienes una solución básica.
Figura 2
? Para garantizar que el segmento de línea que representa la distancia sea perpendicular a A1C1 y BD1, se recomienda colocar primero una de las líneas rectas en la superficie vertical de la otra línea recta. Entonces, si BDD1B1 es el plano diagonal del cubo, A1C1⊥ y BDD1 en BD1. Supongamos que a 1c 1∩b 1d 1 = 0, de modo que OH⊥BD1 esté en BDD 1b1.
? 10.El conjunto solución de la desigualdad |(1/log 1/2x) 2 | > 3/2 es _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.
? Explicación: Aparentemente, esta es una desigualdad absoluta. Primero, obtenga log1/2x 0.
? Entonces x > 4, o 1 < x < 22/7, o 0 < x < 1.
? 11.El rango de valores de la función y = x es _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.
? Instrucciones: Primero eleva al cuadrado la raíz.
? Si (y-x) 2 = x2-3x 2, entonces x = (y2-2)/(2y-3).
? Si y≥x, y ≥ (y2-2)/(2y-3).
? La solución es 1 ≤ y < 3/2 o y ≥ 2.
? Dado que se puede alcanzar el límite inferior 0, el rango de valores de la función es [1, 3/2]∩[2, ∞).
? Nota: (1) Después de que la respuesta de referencia sea 1 ≤ y < 3/2 o y ≥ 2, llevará mucho tiempo verificarlo, lo cual es realmente innecesario.
? (2) Este problema también se puede resolver utilizando el método de sustitución trigonométrica y el método de la imagen especular, pero es más complicado. Es posible que los lectores deseen intentarlo.
Figura 3
? 12. Plantar plantas ornamentales en seis áreas de un hexágono regular (como se muestra en la Figura 3) requiere plantar la misma planta en el mismo bloque y plantar plantas diferentes en dos bloques adyacentes. Hay cuatro plantas diferentes para elegir, por lo que hay _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ tipos de opciones de plantación.
? Nota: Para facilitar la descripción, marcamos seis áreas con las letras A, B, C, D, E y f. El número de plantas plantadas en los tres bloques A, C y E se divide en las tres categorías siguientes.
? (1) Si A, C y E son la misma cepa, existen cuatro métodos. Después de plantar A, C y E, B, D y E pueden elegir una planta de las tres plantas restantes (se permiten repeticiones), cada una con tres métodos. En este momento, * * * hay 4× 3× 3 = 65438.
? (2) Si A, C y E son dos plantas, existe el método P42. Cuando A, C, E son iguales, si A y C son iguales, entonces B tiene tres métodos, y D y F tienen dos métodos, si C, E o E y A son iguales, son iguales (solo que; el orden es diferente). En este momento, * * * hay P43× 3 (3× 2× 2) = 432 métodos.
? (3) Si hay tres plantas A, C y E, existe el método P43. En este momento, hay dos métodos para B, D y f. En este momento, * * * hay P43 × 2 × 2 = 192 métodos.
? Según el principio de suma, existen n = 108 432 192 = 732 planes de plantación.
? Nota: Esta pregunta es una pregunta de disposición circular.
? 3. Resuelva el problema (la puntuación total de esta pregunta es 60 puntos, cada pregunta es 20 puntos)
? 13. Sea {an} una secuencia aritmética, {{bn}} una secuencia geométrica, B1 = A12, B2 = A22, B3 = A32 (A1 < A2). y (B1 B2….
? Explicación: Esta es una pregunta básica sobre series aritméticas y geométricas. Los primeros tres términos de la serie {an} y {{bn}} satisfacen bi = AI2 (I = 1, 2, 3), por lo que se puede determinar la relación entre el primer término de la serie {an} a1 y la tolerancia D. Los valores de a1 y D se pueden obtener de (B1 B2... BN) =. 1.
? Sea la tolerancia de {an} d, y de A1 < A2, obtenemos d > 0. De B22 = B1b3, obtenemos A24 = A22 = a1=a2=a3 ( déjelo en paz, de lo contrario a1=a2=a3)
¿O a22 =-a1a3 ∴(a1 d)2=-a1(a1 2d),
? D2 = 0.
? D = (-2)
? A1, entonces Q = A22/a 12 =(1)2 > 1, que no cumple con los requisitos.
Si d = (-2) a1, entonces q = a22/a12 = (-1) 2
De (B1 B2 … BN) = 1, obtenemos.
? b1/(1-q)= 1,
? Eso es 12/(1-(-1))2 = 1. La solución es A12 = 2.
? A1 0, entonces yp =.
? Se debe maximizar yP y minimizar xP. Es fácil saber que cuando m = a, (XP) min = a-2a2. Por lo tanto, (YP) máx = 2. Por lo tanto, (S △ OAP) max = a .
? Cuando m = (A2 1)/2, XP =-A2. Por lo tanto YP =, entonces S △ OAP = (1/2) A
? Comparemos el tamaño de A y (1/2) A.
? ∵()2-((1/2))2
? =…=-(1/4)(3a-1)(a-1).
? ∴Cuando 0 < a ≤ 1/3, a ≤ ( 1/2)a
? Cuando 1/3 < A < 1/2, A > (1/2) A.
Por lo tanto, la resistencia de (s △ OAP) max =
(1/2)a
(0 A4 > A5 > A6) se ensambla como El módulo que se muestra en la Figura 4. ¿Cómo elegir las resistencias en el conjunto para minimizar el valor de resistencia total del módulo? Justifica tu conclusión.
Explicación: Supongamos que la resistencia total de un componente de 6 resistencias (como se muestra en la Figura 5) es RFG. Cuando RI = AI (I = 3, 4, 5, 6), R1, R2 es cualquier disposición de a1 y a2, y RFG es el más pequeño.
? La prueba es la siguiente mediante el método de ajuste gradual:
Figura 5
? (1) Cuando R1 y R2 están conectados en paralelo, el valor de resistencia del componente R obtenido satisface 1/R = (1/R 1) (1/R2). Si se intercambian R1, R2 y R, R permanece sin cambios.
? (2) Supongamos que la resistencia total de un componente con tres resistencias (como se muestra en la Figura 6) es RAB, ¿entonces?
? RAB =(r 1r 2/(r 1 R2)) R3 =(r 1r 2 r 1r 3 r2r 3)/(r 1 R2).
? Obviamente, cuanto mayor sea R1 R2, más pequeño será el RAB. Por lo tanto, para minimizar RAB, R3 debe ser la más pequeña de las tres resistencias.
Figura 6
Figura 7
? (3) Si la resistencia total de un componente con cuatro resistencias (como se muestra en la Figura 7) es RCD, ¿entonces? 1/RCD=(1/RAB) (1/R4)
? =(r 1r 2 r 1r 3 r 1 R4 r2r 3 r2r 4)/(r 1r2r 4 r 1r3r 4 r2r3r 4).
? Recuerde S1 =, S2 =, entonces S1 y S2 son valores fijos. Entonces RCD =(S2-r 1r2r 3)/(s 1-r3r 4).
? Obviamente, cuando R3