Preguntas y respuestas de la Copa del Festival de Primavera de Sexto Grado de Matemáticas 2009

Actividad de selección de lectores "Demostración de capacidad para resolver problemas matemáticos" de 2009

(Bienvenidos a la Copa de Primavera) Examen preliminar de sexto grado

(Tiempo de evaluación: junio de 2008 11:00-12:00 el día 6)

3. Hay un lote de libros, el número total es menos de 1000. Si se empaquetan 24 libros en un paquete, al paquete final le faltan 2 libros. Si se empaquetan 28 libros en un paquete, al paquete final le faltarán 2 libros. Si se empaquetan 32 libros en un paquete, el paquete final contendrá sólo 30 libros. ¿Cuántos libros hay en este lote?

Dos. Completa los espacios en blanco (10 puntos por cada pregunta, ***50 puntos)

7. Coloca cinco piezas de ajedrez en la cuadrícula numerada 4×4, con un máximo de una en cada cuadrícula. Si hay piezas de ajedrez en cada fila y columna, existen () diferentes formas de colocarlas.

8. En la fórmula (A□B)△(C○D), □, △ y ○ representan tres símbolos de cuatro operaciones diferentes (es decir, suma, resta, multiplicación y división), A, B, C y D son cuatro números arábigos distintos de cero. Si □, △ y ○ representan qué tres símbolos en Hubei son iguales, entonces el resultado del cálculo de (A□B)△(C○D) es un número entero. Entonces los cuatro dígitos ABCD son ().

9. Si hay un número de cinco cifras, el producto de cada número es exactamente 25 veces la suma de sus números. Entonces, el valor máximo de los dos primeros dígitos de este número de cinco dígitos es (75).

10, completa 1 1, 2 2, 3 3,... 8 8, 9 9 en la tabla de la derecha, de modo que todos los cuadrados con el mismo número estén conectados (dos cuadrados conectados debe tener un lado común). Ahora que hemos dado los números en 8 cuadrados y sabemos que A, B, C, D, E, F, G son diferentes, entonces el ABCDEFG de siete dígitos es ().

La idea es excluir primero 1 y 5. Entonces sabemos que D=2, C=3. Luego consideramos tres casos de 4 y finalmente obtenemos ABCDEFG=6732489.

Tres. Completa los espacios en blanco (12 puntos por cada pregunta, ***60 puntos)

11 Como se muestra en la figura, ahora hay un cubo de hierro con una longitud de lado de 10 cm. lados opuestos (lados y lados del cubo. Se perfora un cuadrado con una longitud de lado de 4 cm en el centro del paralelo) y se penetra. El largo, ancho y alto de otro recipiente rectangular son 15 cm, 12 cm y 9 cm respectivamente. Hay agua en el recipiente, la profundidad del agua es de 3 cm. Si se coloca un bloque de hierro cúbico en un recipiente rectangular, el volumen del bloque de hierro bajo el agua es () centímetros cúbicos.

Hazlo en dos pasos:

En el primer paso, suponiendo que el agua aún esté a 3 cm de altura después de meter el bloque de hierro, se descargará parte del agua. El volumen de agua desplazada de esta manera es (10 × 10-4 × 4) × 3 = 252 centímetros cúbicos, que es también el volumen de la parte de 3 cm de alto debajo del bloque de hierro.

Paso 2: Añadiendo esta agua al recipiente aumentará 252÷(15×12-3×3×4)= 1,75 cm. Entonces, el volumen de hierro bajo el agua es 252 3×3×4×1,75=315 centímetros cúbicos.

12. Si el primer dígito de un número de cinco dígitos que consta del 1 al 5 no es 1, puedes realizar la siguiente operación de reemplazo: recuerda que el primer dígito es k, y luego coloca k y el Intercambio de números de k-ésimo dígito. Por ejemplo, 24513 se puede reemplazar dos veces, 24513 42513 12543 y () los números de cinco dígitos se pueden reemplazar cuatro veces.

Discute desde el primer lugar en orden: el primero tiene cuatro posibilidades. Una vez determinada la primera posición, hay tres posibilidades para la segunda posición y dos posibilidades para la tercera posición, ***4×3×2=24.

Por ejemplo, el primer dígito es 2 y el segundo dígito puede ser 3, 4 o 5, pero no puede ser 1. Si los dos primeros dígitos son 2 y 3, el tercer dígito solo puede ser 45 y puede ser 1. Una vez determinados los primeros tres dígitos, solo hay un resultado que se puede reemplazar cuatro veces para obtener el primer 1.

13. A, B y C se distribuyen en el mismo camino de oeste a este. A, B y C parten de A, B y C al mismo tiempo. C va hacia el este y C va hacia el oeste; B y C se encuentran a una distancia de 18 km de B, y A y C se encuentran en B, pero cuando A alcanza a B en C, C ha recorrido 32 km, por lo que la distancia entre ellos. La CA es ()km.

Supongamos que DC es x como se muestra en la figura, entonces 18: x = x: (18 32). La solución es X=30.

Entonces cuando A y C se encuentran, A va a BC y C va a EB, es decir, A es 48÷32=1.5 veces la velocidad de C, entonces cuando C va a EC, la longitud desde A a AC es 80 × 1,5 = 120 km.

El área de 14 y del hexágono regular A1A2A3A4A5A6 es 2009 centímetros cuadrados, B1B2B3B4B5B6 B6b6 es el punto medio de cada lado del hexágono regular entonces el área de la parte sombreada en la figura es () centímetros cuadrados.

Idea: La parte en blanco está compuesta por seis triángulos similares a A1OA2, por lo que siempre que el área de A1OA2 represente una fracción del área hexagonal total, el problema se puede resolver. Se requiere que el área de A1OA2 sea una fracción del área hexagonal total. Primero necesitamos calcular qué parte del área del triángulo A12B6 ocupa. Para calcular qué parte del área ocupa del triángulo A12B6, solo necesitamos calcular la proporción de B6O a A2O. Para calcular la proporción de B6O a A2O, solo necesitamos calcular la proporción del triángulo A1B6B5.

Como se muestra en la figura: a 1b6b 5: a 1a2b 5 = 1/24: 1/4 = 1: 6, entonces a 1oa 2 = 6/7a 1a2b 6 = 6/7×.

El día 15, Xiao Ming y ocho buenos amigos fueron a jugar a la casa del profesor Li. La señorita Li les dio a todos un sombrero y escribió un número de dos dígitos en el sombrero de todos. Los nueve números de dos dígitos son diferentes entre sí y cada niño sólo puede ver el número en el sombrero del otro. La maestra escribió otro número A en el papel y preguntó a los nueve estudiantes: "¿Saben que el número de su sombrero es divisible por A? Si lo saben, levanten la mano. Como resultado, se levantaron cuatro manos". La maestra volvió a preguntar: "¿Sabes ahora que el número de tu sombrero es divisible por 24? Si lo sabes, levanta la mano". Se sabe que Xiao Ming levantó la mano dos veces y que estos nueve niños son lo suficientemente inteligentes y nunca mienten, por lo que la suma de los ocho números de dos dígitos que Xiao Ming vio en los sombreros de otras personas es ().

Pídale a cuatro personas que levanten la mano y podremos analizar por qué estas cuatro personas levantaron la mano. Estas cuatro personas deben haber visto múltiplos de dos dígitos de A, por lo que juzgaron que no son múltiplos de A. Por lo tanto, estas cuatro personas definitivamente pueden levantar la mano para indicar que los números sobre sus cabezas no son múltiplos de A, porque el Cuatro personas levantaron la mano, las otras cinco personas no levantaron la mano, lo que indica que solo hay cinco múltiplos de dos dígitos de A, y todos aparecen en estas nueve personas. Entonces A sólo puede ser uno de los tres números 17, 18 y 19.

Y Xiao Ming levantó la mano, indicando que el número de Xiao Ming definitivamente no es un múltiplo de a.

Xiao Ming y otras 6 personas levantaron la mano y también analizaron los cuatro múltiplos de 24, 48, 72 y 96. Y Xiao Ming levantó la mano, Xiao Ming definitivamente no es un múltiplo de 24.

Xiao Ming volvió a levantar la mano para mostrar que Xiao Ming vio no solo 5 múltiplos de A, sino también 4 múltiplos de 24. Es decir, Xiao Ming vio 9 números y levantó la mano dos veces. Y todo uno * * * solo tiene nueve números. Si Xiao Ming ve 9 números diferentes y su propio número es 10, entonces debemos analizar que los múltiplos de 24 y los múltiplos de a se superponen. Entre los 4 múltiplos de 24, solo 72 es múltiplo de 18, y los demás. El número no es múltiplo de 17 ni múltiplo de 19.

Así que ahora podemos confirmar que A es 18.

Es decir, los números que ve Xiao Ming son 18, 36, 54, 72, 90, 24, 48, 96 y su suma es 438.