Examen de ingreso a la universidad 2013 Matemáticas Geometría sólida ¡Resolución de problemas!

Como se muestra en la figura, en la pirámide triangular P-ABQ, PB⊥ plano ABQ, BA=BP=BQ, d, c, e, f son los puntos medios de AQ, BQ, AP, BP respectivamente, AQ=2BD, PD , EQ se cruzan en el punto g, PC y FQ se cruzan en el punto h, conectando GH.

Verificar: ab//GH;

(ii) Calcular el coseno del ángulo diédrico D-GH-E.

(1) Está demostrado que en la pirámide triangular P-ABQ, los planos ABQ, d, c, e y f de PB⊥ son los puntos medios de AQ, BQ, AP y BP respectivamente.

∴EF//AB, DC//AB

∫PD y EQ se cruzan en el punto g, PC y FQ se cruzan en el punto h

∴ g y h son los centros de gravedad de⊿ ⊿PAQ y⊿ ⊿PBQ respectivamente.

∴qg/qe=qh/qf=2/3==gt GH//EF = = gt//AB

(2) Análisis: ∵PB⊥ Plano ABQ, AQ=2BD.

∴⊿ABQ es RT ⊿∠ ABQ = 90.

∴El plano PBQ, el plano PBA y el plano ABQ son perpendiculares entre sí.

También hay AB//EF//GH//DC

∴GH⊥superficie PBQ== >GH⊥QF, GH⊥PC

∴ ∠ CHF es el ángulo plano del ángulo diédrico D-GH-E

∵BA=BP=BQ, suponiendo AB=2.

Conectar FC, luego FC=√2.

PC = QF =√5 = = gt; HF=HC=√5/3

Según el teorema del coseno

cos∠chf=(hf ^2 hc^2-fc^2)/(2*hf*hc)=-4/5

El coseno del ángulo diédrico D-GH-E es -4/5.