(5) Spline cúbico y B-spline

Primero, ¿qué es un spline? son los diferentes puntos del intervalo. Cuando se cumplen las dos condiciones siguientes, se denomina función spline lineal.

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En otras palabras, es un polinomio de grado entre cada celda y el todo es secuencialmente continuo. Tenga en cuenta que la definición de spline aquí no requiere que los valores de la función sean iguales en todos los puntos. Si es así, se denomina función de interpolación spline.

Entonces tenemos la conclusión:

Conclusión: La dimensión del espacio funcional de todas las funciones subspline construidas a partir de puntos en el intervalo.

En otras palabras, cualquier spline debe escribirse en forma de función base.

De hecho, dependiendo de la elección de la función base, las splines correspondientes son, por supuesto, diferentes. entre los cuales el spline cúbico y el B-spline son los más famosos.

Consideramos esta situación, y es un spline de interpolación, es decir, y debido a que el spline cúbico requiere continuidad de segundo orden, todos los nodos internos deben requerir las derivadas de primer y segundo orden de estos puntos. debería ser igual. No es difícil descubrir que faltan dos condiciones. Aquí se requieren condiciones de contorno y las splines de interpolación son diferentes según las diferentes condiciones de contorno. Por ejemplo, los splines naturales requieren que la segunda derivada de los puntos límite sea 0.

El método de construcción de la función de interpolación spline cúbica es el siguiente: podemos hacer una interpolación lineal a partir de la segunda derivada de cada intervalo, luego construir la ecuación de acuerdo con las condiciones internas y las condiciones de contorno, y finalmente resolver un modo de fila tridiagonal.

La teoría B-spline es muy compleja y es una dirección de investigación clave en campos como CAGD. Voy a cavar un hoyo aquí y no escribiré más sobre ello.

Resumen: La interpolación llega a su fin. Lo que escribí antes fue la interpolación de funciones unarias. De hecho, la interpolación multivariada es más importante en los campos de investigación, incluidos los splines multivariados y los elementos finitos. Comience con el siguiente artículo, escribiendo integrales numéricas.