#¿Cuáles son los métodos de suma de una secuencia?
1. Suma por método de fórmula
Para estas secuencias relativamente simples y comunes, podemos escribir su suma en el párrafo anterior y podemos usarlas directamente para encontrar algunas de las secuencias. en la pregunta de y.
2. Suma por método de agrupación y combinación
Si la fórmula general de una sucesión es, una es una sucesión aritmética y la otra es una sucesión geométrica, generalmente el método de agrupación y combinación. se utiliza para sumar.
Tercero, suma inversa
Por ejemplo, usar este método para encontrar la suma de la primera parte de una secuencia aritmética, es decir, la suma de los dos primeros y últimos términos de una secuencia es igual a los dos primeros y últimos términos. La suma de la primera parte de la secuencia original se puede obtener sumando los elementos correspondientes de la secuencia original y la secuencia invertida. Este método de suma se llama suma hacia atrás.
Cuarto, suma de restas fuera de lugar
Si la fórmula general de una secuencia, una de las cuales es una secuencia aritmética y la otra es una secuencia geométrica, generalmente se puede encontrar en ambos lados de la suma conocida, se multiplica por la razón común de la secuencia geométrica que forma esta secuencia, y luego se resta la nueva suma de la suma original para convertirla en la suma de la secuencia geométrica de múltiplos iguales. Este método se llama resta de dislocaciones.
5. Método de eliminación de fases
Si cada término de una serie se puede reducir a la diferencia entre dos términos, y el minuendo del término anterior es igual al minuendo del siguiente término. Los minuendos son exactamente iguales y los términos medios se cancelan entre sí al sumar, entonces el método para sumar esta serie es el método de eliminación de términos divididos.
En términos generales, cuando el término general de una secuencia a menudo se puede reducir a la diferencia entre dos términos, se utiliza el método de eliminación de términos divididos para encontrar la suma.
Método de suma y transformación de verbos intransitivos
El método de transformación es un método eficaz para transformar problemas de suma de secuencias no especiales en problemas de suma de secuencias aritméticas (de proporción).
Ejemplo 6: Buscar
Solución: El término general de esta serie es que no es una serie aritmética ni una serie geométrica, sino una serie geométrica, por lo que se puede transformar. Problema de suma de series geométricas.
7. Inducción matemática
En el examen de acceso a la universidad de 2006 apareció una fórmula general para una secuencia, en la que se encontraba por primera vez la suma de los primeros elementos de la secuencia, y luego se encontró la fórmula general basada en la suma de los primeros elementos. Para encontrar la suma del párrafo anterior, no utilizamos el método mencionado anteriormente, sino que lo verificamos con base en la conjetura inductiva, la cual se obtiene por inducción matemática.
Ejemplo 7 (Pregunta 22 de Ciencias del Examen Nacional de Ingreso a la Universidad de 2006): Supongamos que la suma de los primeros n términos de la secuencia {an} es Sn, y una de las ecuaciones x2-anx-an = 0 es Sn-1, n = 1, 2, 3,..., (1) Encuentre A65438. (2) Encuentra la suma de la sección anterior de la secuencia.
Solución: (1) Cuando n = 1, una raíz de X2 -a 1x-a 1 = s 1 = a 1
Entonces (a 1-1)2- a 1(a 1-1)-A1 = 0, la solución es a 1 =,
Cuando n = 2, uno de x2-a2x-a2 = 0 es S2-1 = a2-,
Entonces (A2-) 2-A2 (A2-)-A2 = 0, obtenemos A2 =.
(2) Supongamos (sn-1)2-an(sn-1)-an = 0, es decir, sn2-2sn+1-ansn = 0.
Cuando n≥2, sustituye an = sn-sn-1, sn-1sn-2sn+1 = 0 ① en la fórmula anterior.
Se puede ver en (1), y en ①, S1 = A1 =, S2 = A1+A2 =+=, S3 =.
De esto podemos adivinar sn =, n = 1, 2, 3,...
8. Método de construcción de la suma
1. tipo de Serie, generalmente usa el método de coeficiente indeterminado para construir una serie geométrica, es decir, compararla con una fórmula recursiva conocida, es decir, convertirla en una serie geométrica con una relación común A...
Ejemplo 8: En una En una secuencia, si,, encuentre la suma de los párrafos anteriores en la secuencia.
(2)Para este tipo de secuencia, generalmente se convierte en una secuencia aritmética o geométrica.
(1) Si p=q, entonces ingrese, por lo tanto ingrese el primer término, y la tolerancia es igual a la {última} suma de r secuencia aritmética. ②Si p≠q, convierta a, luego convierta al tipo (1) y luego sume.
Ejemplo 9: La secuencia conocida {} satisface la suma del párrafo anterior.
Solución: ∵∴
Pidamos comida
∴{+1} es una serie geométrica, el primer término es y la razón común es 2.
∴
La fórmula general de la secuencia ∴ { 0 } es
Es decir,
(3) Para este tipo de secuencia, generalmente primero Convertir a, luego convertir a, comparar los coeficientes, encontrar x, y, y luego convertir al tipo (1) para resolver.
Ejemplo 10 (Examen de ingreso a la Universidad de Shandong de 2006, Artes liberales): Se sabe que la secuencia {}, ) está en la línea recta y=x, donde n = 1, 2, 3... Encuentra la suma de los elementos anteriores de la secuencia.
Análisis: ∫) y=x en una recta
∴ ①
El orden puede ser:
Contraste ①Coeficiente de contraste
(4) Para este tipo de secuencia, generalmente se obtiene tomando el recíproco y luego cambiando al tipo (1) para resolverlo.
Ejemplo 11: Se sabe que la secuencia {} satisface a1=1, encuentre la suma de los segmentos anteriores de la secuencia {}.
Análisis: desde, desde
Es decir,
∴ es una serie geométrica con el primer término como razón común que es 2.
Es decir,
(5) Para este tipo, generalmente se convierte en una serie geométrica para resolver,
(1) Si p=1, tome ambos lados de la ecuación El logaritmo común o logaritmo natural de se convierte en:, y se obtiene el primer término, y la razón común es la serie geométrica {} de r, entonces =, y luego se obtiene la suma.
②Si p≠1, toma el logaritmo de ambos lados de la ecuación con p como base para obtener:, convertido al tipo (1).
Ejemplo 12 (simulación de Shijiazhuang de 2006): si la secuencia está en {}, encuentre la suma de las secciones anteriores de la secuencia.
Análisis: ∵ y conocimiento, dos lados de logaritmos comunes:
∴ {} es una serie geométrica con un primer término y una razón común de 2.
(6) Este tipo generalmente se obtiene dividiendo ambos extremos: y luego convertido en una serie aritmética o geométrica para resolver.
(1), constituyen una sucesión aritmética {} con el primer término as y tolerancia as.
Ejemplo 13 (07 Baoding): Cuando la secuencia conocida {} satisface, encuentre la suma de los segmentos anteriores de la secuencia {}.
Solución: La sucesión {} es una sucesión aritmética con el primer término y una tolerancia de 2.
②. Convierta al tipo de solución (1).
(7) Para este tipo de secuencia, generalmente se transforma usando identidades para encontrar x e y, obteniendo así la serie geométrica, y luego =f(n), que luego se transforma en la ecuación ( 3).
9. Utilizar con destreza la suma de la primera parte de la secuencia.
Ejemplo 14 (Examen de ingreso a la Universidad de Fujian de 2007, Artes liberales): la suma de los primeros N términos de la secuencia {an} es Sn, a1=1, an+1=2Sn (n∈N*) . Encuentre la suma de los términos anteriores de la secuencia {an}.
Solución: ∫an+1 = 2sn, ∴ sn+1-sn = 2sn
∴=3
∫s 1 = a 1 = 1,
∴La sucesión {sn} es una serie geométrica con el primer término 1 y la razón común 3, Sn=3n-1(n∈N*).
10. Utiliza derivadas para encontrar la suma de las secciones anteriores de la secuencia.
Para algunas personas difíciles de encontrar la suma anterior de una secuencia, si puede considerarse como la derivada de una fórmula de suma conocida, entonces la fórmula de suma se puede convertir en una derivada fácil de calcular. Por el contrario, algunas fórmulas de suma y fórmulas básicas se pueden obtener mediante métodos de derivación.
Ejemplo 15: Suma
En ese momento, Zhiyi analizó:
Por eso sabíamos que la secuencia se derivaba de la serie geométrica.
Explicación: (1) En ese momento,;
② En ese momento, debido a la derivación de ambas partes: