Pregunta 19 del examen de ingreso a la Universidad de Jiangsu de 2012, segunda pregunta, prueba geométrica
En el prisma triangular ABC-A1B1C1, se sabe que AB=AC=AA1=√5, BC=4, y la proyección de A1 sobre la base ABC es el punto medio O del segmento BC .
(1) Demuestre que hay un punto E en el borde lateral AA1, tal que OE⊥ plano BB1C1C, y encuentre la longitud de AE
(2) Encuentre el ángulo; entre el plano A1B1C y el plano BB1C1C El coseno del ángulo.
(1) Demuestre: ∵En el prisma triangular ABC-A1B1C1, se sabe que AB=AC=AA1=√5, BC=4, y la proyección de A1 sobre la base ABC es el punto medio O del segmento de recta BC
∴AA1//cara BB1C1C==gt; cara A1AO⊥cara ABC==gt; p>Usa O para hacer que OE ⊥AA1 cruce a AA1 en E
∴OE⊥ cara BB1C1C
Conecta OA, OA=√(AB^2-OB^2)=1
A1O =√(AA1^2-OA^2)=2
OA^2=AE*AA1==gt; AE=√5/5
(2) Análisis: Encuentre el coseno del ángulo entre el plano A1B1C y el plano BB1C1C.
Maldice C1 y dibuja C1F⊥B1C para cruzar B1C en F. Pasa por F y dibuja FG⊥B1C para cruzar A1C en G. Conecta GC1
∴∠GFC1 es el ángulo entre el plano A1B1C y el plano BB1C1C
∵BB1C1C es un rectángulo, ∴∠CC1B1=π/2
En ⊿CB1C1, B1C=√(B1C1^2 CC1^2. )=√21
B1C1^2=B1F*B1C==gt 4^2=B1F*√21==gt; (B1C1^2-FB1^ 2)=?4√5/√21
De (1) A1O=2, OC=2, ∴A1C=2√2
En ⊿A1CB1
Cos∠A1CB1=(A1C^2 B1C^2-A1B1^2)/(2A1C*B1C)=(8 21-5)/(2*2√42)=6/ √42
CF=√21-16/√21=5/√21
tan∠A1CB1=GF/CF=√6/6==gt; 14/42?
p>Cos∠A1CB1=CF/CG=6/√42==gt;CG=5/√21*√42/6=5√2/6
En ⊿A1CC1
Cos∠A1CC1=(A1C^2 C1C^2-A1C1^2)/(2A1C*C1C)=(8 5-5)/(2*2√10) =2/√10
CG=5√2/6
GC1=√(GC^2 CC1^2-2*GC*CC1*cos∠A1CC1)=√( 50/36 5-2* 5√2/6*√5*2/√10)
=√(55/18)?
En ⊿GFC1
Cos∠GFC1 =(GF^2 FC1^2-GC1^2)/(2GF*C1F)=(25/126 80/21-55/18)/(2*5√14/42*√80 /√21)
=√30/10