99 preguntas del examen de ingreso de posgrado de matemáticas avanzadas

La solución en la Figura 2 es incorrecta. Para ∫(0,1)f(tx)dt, donde x se trata como una "constante". Por lo tanto, suponiendo u=tx, dt=du/x, x todavía se considera una "constante".

∴La condición para sustituir en la pregunta es (1/x)∫(0,x)f(u)du=f(x)+x? . Multiplicar ambos lados por x, ∫(0,x)f(u)du=xf(x)+x? . Luego tomamos la derivada en ambos lados de x,

∴f(x)=f(x)+xf'(x)+3x? . ∴f'(x)=-3x. Integrar ambos lados, ∴f(x)=(-3/2)x? +C. Además, f(1)=0, ∴C=3/2.

La ecuación de la curva es f(x)=3(1-x?)/2.