10 ejemplos típicos para dominar los problemas más valiosos de las matemáticas de la escuela secundaria: explicación de ejemplos clásicos de las matemáticas de la escuela secundaria

10 ejemplos típicos para dominar el problema de valor mínimo en matemáticas de secundaria

La forma habitual de resolver el problema de mínimo geométrico es que el segmento de recta entre dos puntos sea el más corto;

Un punto fuera de la línea recta y Entre los segmentos que conectan todos los puntos de la línea recta, el segmento perpendicular es el más corto;

La suma de los dos lados del triángulo es mayor que el tercer lado o la diferencia entre los dos lados del triángulo es menor que el tercer lado (el valor máximo se toma cuando se superponen)

Es la base teórica para resolver el problema de transformación geométrica óptima. a diferentes características es la clave para resolver el problema óptimo. Al reducir las variables mediante transformación, el problema se puede resolver acercándose a los tres teoremas; llamar directamente al modelo básico también es una forma eficiente de resolver el problema del óptimo geométrico.

1. Como se muestra en la figura: el punto P es un cierto punto dentro de ∠AOB, y los puntos M y N se mueven en los lados OA y OB respectivamente. Si ∠AOB =45°, OP = entonces el valor mínimo del perímetro de △PMN es. .

Analiza los puntos de simetría C y D de P respecto de OA y OB. Conecte OC, OD． Entonces, cuando M, N es el punto de intersección de CD y OA, OB, el perímetro de △PMN es el más corto y el valor más corto es la longitud de CD. Según las propiedades de la simetría, se puede demostrar que △COD es un triángulo rectángulo isósceles y se puede resolver en base a esto. Solución: Construya los puntos de simetría C y D de P alrededor de OA y OB. Conecte OC, OD． Entonces, cuando M, N es el punto de intersección de CD y OA, OB, el perímetro de △PMN es el más corto y el valor más corto es la longitud de CD. ∵PC es simétrico con respecto a OA,

∴∠COP =2∠AOP, OC =OP

De manera similar, ∠DOP =2∠BOP, OP =OD

∴∠COD =∠COP ∠DOP =2 (∠AOP ∠BOP )=2∠AOB =90°, OC =OD. ∴△COD es un triángulo rectángulo isósceles. Luego CD

.

Reflexiones después de la pregunta: Esta pregunta examina las propiedades de la simetría. Dibujar la figura correctamente y comprender las condiciones para el perímetro mínimo de △PMN es la clave para resolver el problema.

2. Como se muestra en la figura, cuando el perímetro del cuadrilátero P ABN es el más pequeño, a =

Análisis Debido a que las longitudes de AB y PN son fijas, basta con encontrar la longitud de P A NB. La pregunta es ¿cuándo es P A NB el más corto?

Traslada el punto B 2 unidades hacia la izquierda al punto B ′; dibuja el punto de simetría B ″ de B ′ alrededor del eje x, conecta AB ″ e intersecta el eje x con P para determinar el posición del punto N. Esto cuando P A NB es el más corto.

Suponga que la fórmula analítica de la recta AB ″ es y =kx b, y utilice el método del coeficiente indeterminado para encontrar la fórmula analítica de la recta. Se puede obtener el valor de a.

Solución: Mover el punto N para Mover 2 unidades hacia la izquierda para que coincida con P. Mover el punto B 2 unidades hacia la izquierda para B ′ (2, -1) Dibujar el punto de simetría B ″ de B ′ con respecto a x. -eje. Según el método, conocemos el punto B ″ (2, 1). Sea La fórmula analítica de la recta AB ″ es y =kx b ,

?1=2k b entonces?, el la solución es k =4, b =-7.

-3=k b ?

777

∴y =4x -7． Cuando y =0, x =, es decir, P (, 0), a =.

444

7

Por lo tanto, complete la respuesta:．

4

El pensamiento posterior a las preguntas pone a prueba el conocimiento sobre el punto de simetría del eje X, el segmento de línea más corto entre dos puntos, etc.

3. Como se muestra en la figura, dos puntos A y B están a ambos lados de la línea recta. La distancia entre el punto A y la línea recta AM =4, la distancia entre el punto B y la línea recta BN =1 y MN =4. P es un punto en movimiento en la línea recta, |P A - El valor máximo de PB |

Analiza el punto de simetría B ′ del punto B sobre la recta l, entonces PB =PB ′ y por tanto |P A ﹣PB

|=|P A ﹣PB ′|, entonces cuando A, B ′, P están en línea recta, el valor de |P A ﹣PB | Según el teorema del segmento de recta de rectas paralelas se pueden obtener los valores de PN y PM, y luego se pueden obtener los valores de P A y PB ′ según el teorema de Pitágoras, y luego el valor máximo de |PA - PB | se puede obtener.

Solución: Construir el punto B en el punto de simetría B ′ de la recta l, conectar AB ′ y extender la recta que se cruza l en P. ∴B ′N =BN =1,

Dibuja B ′D ⊥AM a través del punto D y usa el teorema de Pitágoras para encontrar el valor máximo de AB ′=5 ∴|P A ﹣PB |

Pensamientos después de la pregunta Esta pregunta examina la representación gráfica: transformación de simetría axial, teorema de Pitágoras, etc. Estar familiarizado con "el segmento de línea más corto entre dos puntos" es la clave para responder esta pregunta.

4. Operación práctica: en la hoja de papel rectangular ABCD, AB =3, AD =5. Como se muestra en la figura, doble el papel de modo que el punto A caiga en A' en el lado BC y el pliegue sea PQ. Cuando el punto A' se mueve en el lado BC, los puntos finales P y Q del pliegue también se mueven. Si los puntos P y Q están restringidos a moverse en los lados AB y AD respectivamente, entonces la distancia máxima que el punto A ′ puede moverse en el lado BC

es.

La clave para analizar esta cuestión es encontrar los dos extremos, es decir, la posición del punto P o Q cuando BA ′ toma el valor máximo o mínimo. No es difícil encontrar mediante experimentos que cuando los puntos P y B coinciden, BA ′ toma un valor máximo de 3 y cuando los puntos Q y D coinciden, BA ′ toma un valor mínimo de 1. Por tanto, la distancia máxima que puede recorrer el punto A′ del lado BC es 2.

Solución: Cuando coinciden los puntos P y B, el valor máximo de BA ′ es 3. Cuando coinciden los puntos Q y D (como se muestra en la figura), A ′C = 4 se obtiene del teorema de Pitágoras , entonces cuando BA ′ toma el valor mínimo 1.

Entonces la distancia máxima que se mueve el punto A ′ sobre la arista BC es 3-1=2. Por lo tanto, la respuesta es: 2

Pensamientos después de la pregunta. Esta pregunta pone a prueba la capacidad práctica de los estudiantes, el plegado de gráficos y la aplicación del teorema de Pitágoras. Principalmente carecen del hábito de las operaciones prácticas y dependen únicamente del error de la imaginación.

5． Como se muestra en la figura, la pieza de papel trapezoide en ángulo recto ABCD, AD ⊥AB, AB =8, AD =CD =4, los puntos E y F están en los segmentos de línea AB y AD respectivamente, doble △AEF a lo largo de EF, y el punto de aterrizaje del punto A se registra como P. Cuando P cae dentro del trapezoide rectángulo ABCD, el valor mínimo de PD es igual a .

El análisis se muestra en la figura. Después del análisis y la exploración, PD es más pequeño solo cuando el diámetro EF es el más grande y el punto A cae sobre BD. Según el teorema de Pitágoras, la longitud de BD puede ser. encontrado y el problema podrá resolverse. Solución: Como se muestra en la figura,

∵Cuando el punto P cae dentro del trapezoide, ∠P =∠A =90°, ∴El cuadrilátero PF AE es un cuadrilátero inscrito en un círculo con EF como diámetro ,

∴Solo cuando el diámetro EF es el más grande y el punto A cae sobre BD, PD es el más pequeño. En este momento, E y el punto B coinciden entre sí de la pregunta: PE =. AB =8, del teorema de Pitágoras: BD 2=82 62=80, ∴BD = ∴PD =8.

Pensamientos después de la pregunta Esta proposición se construye utilizando un trapecio rectángulo como portador, utilizando la transformación plegable como método y examinando la determinación de triángulos congruentes y la aplicación de sus propiedades para resolverlos; el problema es captar. En un determinado momento del movimiento de la figura, el movimiento busca la quietud y frena con la quietud.

6. Como se muestra en la figura, ∠MON =90°, los vértices A y B del rectángulo ABCD están en los lados OM y ON respectivamente. Cuando B se mueve en el lado ON, A luego se mueve en OM y la forma del rectángulo. ABCD permanece sin cambios, donde AB =2, BC =1 Durante el movimiento, la distancia máxima del punto D al punto O es.

Analizamos y tomamos el punto medio E de AB, conectamos OD, OE y DE. Según la línea media de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la mitad de la hipotenusa, podemos obtener OE =AB. pitagórico

Use el teorema para encontrar DE, y luego, de acuerdo con que la suma de dos lados cualesquiera del triángulo sea mayor que el tercer lado, podemos obtener que OD es el máximo cuando pasa por el punto E. Solución: Como se muestra en la figura, toma el punto medio E de AB y conecta OD, OE y DE, ∵∠MON =90°, AB =2 ∴OE =AE =

1

AB =1, 2

∵BC =1, el cuadrilátero ABCD es un rectángulo, ∴AD =BC =1,

∴DE

Según los tres lados del triángulo Relación, OD

∴Cuando OD pasa por el punto E

.

．

Pensamientos después de la pregunta Esta pregunta examina las propiedades de los rectángulos, la propiedad de que la línea media de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la mitad de la hipotenusa, la relación entre los tres lados del triángulo, la Teorema de Pitágoras y determinar el punto medio de OD que pasa por AB Maximizar el valor del tiempo es la clave para resolver el problema.

7. Como se muestra en la figura, la longitud del segmento de línea AB es 4, y C es el punto de movimiento anterior en AB. Tomando AC y BC como hipotenusas respectivamente, dibuje un ángulo recto isósceles △ACD y un ángulo recto isósceles △BCE en el mismo. lado de AB. Entonces el valor mínimo de la longitud de DE es ．.

Análisis: Supongamos AC =x, BC =4-x De acuerdo con las propiedades de un triángulo rectángulo isósceles, obtenemos el teorema CD

= y luego usamos el método de coincidencia para. resolverlo.

Solución: Supongamos que AC =x, BC =4-x,

∵△ABC, △BCD ′ son todos triángulos rectángulos isósceles, ∴CD

x , CD

′= (4﹣x), según Pitágoras 22

, CD

′=4﹣x), 121

x （4﹣x ）2=x 2﹣4x 8=（x ﹣2）2 4, 22

∵∠ACD =45°, ∠BCD ′=45°,

∴∠DCE =90°, ∴DE 2=CD 2 CE 2=

∵Según el valor máximo de la función cuadrática,

∴Cuando x toma 2 , DE toma el valor mínimo y el valor mínimo es: 4. Entonces la respuesta es: 2.

Pensamientos después de la pregunta Esta pregunta examina el valor máximo de una función cuadrática y un triángulo rectángulo isósceles. No es difícil. La clave es dominar el método para encontrar el valor máximo de una función cuadrática. 8. Como se muestra en la figura, en el rombo ABCD, AB =2, ∠A =120°, los puntos P, Q y K son puntos cualquiera en los segmentos de línea BC, CD y BD respectivamente, entonces el valor mínimo de PK QK es.

Analice el problema de determinar el camino más corto basándose en la simetría axial. Construya el punto de simetría P ′ del punto P con respecto a BD. El punto de intersección que conecta P ′Q y BD es el punto K deseado. según un punto fuera de la línea recta a la línea recta La propiedad de que el segmento de línea vertical es el más corto entre todas las líneas de conexión se puede conocer como el valor mínimo de PK QK cuando P ′Q ⊥CD, y luego se puede resolver .

Solución: Como se muestra en la figura, ∵AB =2, ∠A =120°, la distancia desde ∴ punto P ′ a CD es

∴PK QK

Pensamientos después de la pregunta Esta pregunta examina las propiedades de un rombo y el problema de determinar el camino más corto a través de la simetría axial. Memorizar la simetría axial de un rombo y el método de usar la simetría axial para determinar el camino más corto son las claves para. resolviendo el problema.

9. Como se muestra en la figura, la longitud del lado del cuadrado ABCD es 1, el punto P es cualquier punto del lado BC (puede coincidir con B y C), y las líneas verticales del rayo AP pasan por B, C y D respectivamente, y los pies verticales son B ′, C ′, D ′, entonces el rango de valores de BB ′ CC ′ DD ′ es.

Para el análisis, primero conecte AC y DP. Como la longitud del lado del cuadrado ABCD es 1, podemos obtener: S △ADP =S △ABP S △ACP =S △ABC =

11S Cuadrado ABCD =, 22

111

S cuadrado ABCD =, entonces podemos obtener A

P ? (BB ′ CC ′ DD ′)=1, y 1≤AP

222

Respuesta.

Solución: Conectar AC, DP.

∵ Cuadrilátero ABCD es un cuadrado, la longitud del lado del cuadrado ABCD es 1, ∴AB =CD, S cuadrado ABCD =1, ∵S △ADP =

1111S Cuadrado ABCD = , S △ABP S △ACP =S △ABC =S Cuadrado ABCD =, 2222

∴S △ADP S △ABP S △ACP =1,

1111

AP ?BB ′ AP ?CC ′ AP ?DD ′=AP ?(BB ′ CC ′ DD ′)=1, 2222

2

Entonces BB ′ CC ′ DD ′ =,

AP

∵1≤AP

∴

∴Cuando P y B coinciden, hay un valor máximo de 2; cuando P y C

BB ′ CC ′ DD ′≤2.

BB′CC′DD′≤2.

Reflexiones después de la pregunta Esta pregunta examina las propiedades, el área y la transformación de áreas iguales de los cuadrados. Esta pregunta es difícil. La clave para resolver el problema es conectar AC y DP. Según el significado de la pregunta, obtenemos S △ADP S △ABP S △ACP =1, y luego obtenemos BB ′ CC ′ DD ′. =

2. AP

10. Como se muestra en la figura, en el rombo ABCD, ∠A =60°, AB =3, los radios de ⊙A y ⊙B son 2 y 1 respectivamente, P, E y F son puntos móviles en los lados CD, ⊙A y ⊙ B respectivamente. Entonces el valor mínimo de PE PF es.

Analiza y utiliza las propiedades del rombo y las propiedades de dos circunferencias tangentes para obtener el valor mínimo de PE PF cuando P y D coinciden, y luego calcúlalo. Solución: Del significado de la pregunta se puede concluir: cuando P y D coinciden, el punto E está en AD y el punto F está en BD. En este momento, PE PF es el más pequeño que conecta BD,