Respuestas detalladas a la pregunta 12 del examen de ingreso a la Universidad de Liaoning de 2013, Ciencias y Matemáticas, de opción múltiple.
[Solución]
∵x^2f′(x)+2xf(x)=e^x/x,∴x^2f′(x)=e^x/x-2xf(x),
∴f′(x)=[e^x/x-2xf(x)]/x^2,
Asumiendo f′(x)= 0, obtenemos: e x/x-2xf (x) = 0, ∴ f (x) = e x/(2x 2).
Supongamos f (x) = e x/(2x 2) donde x = 2, obtenemos f (2) = e 2/8, lo que significa que cuando f' (x) = 0, hay : x = 2.
Cuando f(x) tiene un valor extremo, se obtiene cuando x = 2. ①
De x ^ 2f '(x)+2xf(x)= e ^ x/x, tomamos la derivada de ambos lados y obtenemos:
2xf′(x)+ x^ 2f″(x)+2f(x)+2xf′(x)=(xe^x-e^x)/x^2,
∴Cuando f(x) tiene un valor extremo, hay es: x ^ 2f”(x)+e ^ x/x ^ 2 =(xex-e ^ x)/x ^ 2
∴f″(x)=(xe^x-2e^ x)/ x^4.
∴f”(2)=(2e x-2e 2)/16 = 0, ∴Cuando x = 2, f(x) no tiene valor extremo. ②
Combinando ① y ②, podemos obtener que f(x) no tiene valor extremo. La respuesta a esta pregunta es d.