Respuestas detalladas a la pregunta 22 del examen de ingreso a la escuela secundaria de matemáticas de Nanjing de 2012

Demostración: (1) En △ABC, E y F son los puntos medios de AB y BC respectivamente,

Entonces podemos obtener: EF=12AC, y de manera similar FG=12BD, GH=12AC, HE=12BD,

En el trapezoide ABCD, AB=DC,

Entonces AC=BD,

∴EF=FG=GH= HE,

∴El cuadrilátero EFGH es un rombo.

Supongamos que AC y EH se cruzan en el punto M,

En △ABD, E y H son los puntos medios de AB y AD respectivamente,

Entonces EH∥ BD ,

Del mismo modo, GH∥AC,

También ∵AC⊥BD,

∴∠BOC=90°,

∴ ∠ EHG=∠EFG=90°,

∴El cuadrilátero EFGH es un cuadrado.

(2) Conecte EG.

En el trapecio ABCD,

∵E y G son los puntos medios de AB y DC respectivamente,

∴EG=12 (AD+BC)=3 ．

En Rt△EHG,

∵EH2+GH2=EG2, EH=GH,

∴EH2=92, es decir, el área de el cuadrilátero EFGH es 92 ．