Pregunta clásica del cajón de pruebas de 2012

(1) Si se colocan tres manzanas en dos cajones, entonces debe haber al menos dos manzanas en el cajón 1.

(2) Se entregaron cinco pañuelos a cuatro niños, luego un niño debe haber tomado al menos dos pañuelos.

(3) Si seis palomas vuelan dentro de cinco jaulas para palomas, entonces al menos una jaula para palomas debe volar hacia dos palomas.

Utilizamos el método de lista para demostrar el ejemplo (1): método de amplificación.

Cajones Categoría 1, Categoría 2, Categoría 3, Categoría 4, Nº 65438 + 0 cajones, 3 cajones, 2 cajones, 0 cajones, 1 cajón, 2 cajones, 3 cajones. Como puedes ver en la tabla de arriba, hay 4 formas diferentes de poner 3 manzanas en 2 cajones.

El primer y segundo método aseguran que haya al menos dos manzanas en el primer cajón. Los métodos tercero y cuarto dan como resultado al menos dos manzanas en el segundo cajón.

Es decir, se puede decir con certeza que si se colocan tres manzanas en dos cajones, entonces habrá al menos dos manzanas en un cajón.

De lo anterior se pueden sacar las siguientes conclusiones: el número de objetos en la pregunta, el número de frutas en el cajón (1), tres manzanas en dos cajones, al menos dos manzanas en un cajón ( 2), cuatro cinco pañuelos por persona, al menos dos pañuelos por persona (3), seis palomas vuelan en cinco jaulas y al menos dos palomas vuelan en una jaula. La característica común de los tres ejemplos anteriores es que el número de objetos es uno más que el número de cajones. Por lo tanto, la conclusión es:

Principio 1 del casillero: si se colocan más de n objetos en n cajones, al menos un cajón contiene dos o más objetos.

Mire los siguientes dos ejemplos:

(4) Coloque 30 manzanas en 6 cajones Pregunta: ¿Existe alguna manera de que el número de manzanas en cada cajón sea menor que o? igual a 5?

(5) Pon más de 30 manzanas en 6 cajones. Pregunta: ¿Hay alguna manera de poner menos o igual a 5 manzanas en cada cajón?

Respuesta: (4) Existe tal método. Es decir: poner 5 manzanas en cada cajón (5) No existe tal método de liberación. No importa cómo lo pongas, encontrarás un cajón con al menos seis manzanas dentro.

De los dos casos anteriores, también podemos obtener las siguientes reglas:

Principio 2 de la jaula de palomas: si hay más de m × n objetos en n cajones, entonces al menos hay son m+1 o m+l objetos en un cajón.

Se puede ver que la diferencia entre el "Principio 1" y el "Principio 2" es que el "Principio 1" tiene más objetos y menos cajones, y los números son relativamente cercanos; el "Principio 2" tiene más; objetos y menos cajones, pero la cantidad varía mucho, siendo el número de objetos varias veces mayor que el número de cajones.

Los dos principios anteriores son una base importante para que podamos resolver el problema del cajón. El problema de los cajones se puede resumir en una frase: cuántas manzanas hay, cuántos cajones hay y la relación entre manzanas y cajones. La clave para solucionar este tipo de problemas es encontrar los cajones correctamente. Sólo cuando el cajón se encuentre correctamente se podrá poner la manzana en él.

Comencemos con una pregunta sencilla:

(1) Si tres palomas vuelan a dos nidos, ¿cuántas palomas hay en 1 nido? (Respuesta: 2)

(2) Si colocas tres libros en dos estanterías, siempre habrá una estantería con al menos varios libros. (Respuesta: 2 copias)

(3) Si se colocan tres cartas en dos buzones, siempre habrá un buzón donde se colocarán más de unas pocas cartas. (Respuesta: 1)

(4) 1.000 palomas volaron a 50 nidos. No importa cómo vueles, definitivamente encontrarás el nido con más palomas. ¿Al menos cuantas palomas hay? (Respuesta: 1000÷50=20, entonces la respuesta es 20)

(5) Saca 17 manzanas de 8 cajones, no importa cómo las tomes. Definitivamente encontraremos el cajón con más manzanas. ¿Cuántas manzanas sacamos de él? (Respuesta: 17 ÷ 8 = 2...1, 2+1=3, entonces la respuesta es 3).

(6) ¿Sacar 25 manzanas de varios cajones (rellene el número máximo) para asegurarse de que pueda encontrar un cajón y sacar al menos 7 manzanas de él? (Respuesta: 25÷□=6...□, se puede ver que el divisor es 4, el resto es 1 y el número de cajones es 4, por lo que la respuesta es 4).

El problema del cajón también se llama problema del nido de pájaro, problema de la estantería o problema del buzón. Como en (1), (2) y (3) anteriores, analice estos principios.

La regla para las preguntas anteriores (4), (5) y (6) es que si el número de objetos es varias veces mayor que el número de cajones, puedes dividir el número de manzanas por el número de cajones, el resto no es cero y la respuesta es el cociente más 1. Si el resto es cero, la "respuesta" es un cociente. La pregunta (6) es encontrar la cantidad de cajones sabiendo la cantidad de manzanas y la respuesta.

El problema del cajón tiene una amplia gama de usos. Si puedes usarlo de manera flexible, puedes resolver algunos problemas matemáticos que pueden parecer complicados y confusos, pero que en realidad son bastante interesantes.

Ejemplo 1: Hay 13 estudiantes en una clase* ¿Cuántos estudiantes nacieron en el mismo mes? ( )

A.13 B. 12 C. 6 D. 2

Solución 1: Encuentra las dos cantidades de la pregunta, una es el número de personas y la otra es el mes. Tomando el número de personas como "manzanas" y el mes como "cajones", la pregunta es: se colocan 13 manzanas en 12 cajones, luego hay al menos dos manzanas en un cajón. Manzanas y cajones conocidos, utilice el "principio 1 del casillero".

Ejemplo 2: cierta clase participó en una competencia de matemáticas y la puntuación total del examen fue de 30 puntos. ¿Cuál es el número mínimo de personas en la clase que deben participar para que dos personas obtengan el mismo puntaje? ( )

A.30 B. 31 C. 32 D. 33

Opción 2: No hay duda de que el número total de participantes puede considerarse como "manzanas". Aquí es necesario encontrar un "cajón" que cumpla con los requisitos: después de ingresar el número total de participantes, se garantiza que habrá un "cajón" para 2 personas. Después de analizar cuidadosamente la pregunta, por supuesto se puntúa el "cajón". Si la puntuación total es 30 puntos y hay 31 situaciones posibles (de 0 a 30 puntos), entonces el número de "manzanas" debería ser 31+1 = 32. Manzanas y cajones conocidos, utilizando el "principio 2 de la jaula de palomas"

Ejemplo 3. En el paraíso matemático de una escuela, hay 400 estudiantes de quinto grado, los mayores y los más jóvenes tienen menos de 1 año de diferencia. Podemos concluir que al menos dos de estos 400 alumnos nacieron el mismo día del mismo año y mes. ¿Sabes por qué?

Solución 3: Debido a que la diferencia entre el mayor y el menor es menor de 1 año, la fecha total de nacimiento de estos 400 estudiantes no excederá los 366 días. Considere 400 estudiantes como 400 manzanas y 366 días como 366 cajones. (Si dos estudiantes nacieron el mismo día, déjelos ir al mismo cajón; de lo contrario, póngalos en cajones diferentes). Del "Principio del cajón 2", sabemos "Debe encontrar un cajón con al menos 2 (400 ÷ Si Cierra los ojos y toca, (1) ¿Cuántos palillos necesitas tocar para asegurarte de que al menos dos palillos sean del mismo color?

Opción 4: Usar palillos de tres colores como tres cajones y luego:

(1) De acuerdo con el "Principio 1 del casillero", se necesitan al menos cuatro palillos para garantizar que los colores de los dos palillos sean iguales (2) Partiendo del caso más especial, supongamos que toma tres; palillos de tres colores, es decir, toma tres palillos de cada uno de los tres "cajones", no importa qué "cajón" tomes, los cuatro palillos serán del mismo color. Entonces al menos 3×3+1=10 deben ser. tomado al mismo tiempo

Ejemplo 5. Demuestre que al menos 4 de las 37 personas son del mismo género

Explicación 5: Hay 37 manzanas y 12. Los atributos se consideran 12 cajones según el principio 2 del casillero: "No importa cómo lo pongas, encontrarás un cajón con al menos 4 manzanas dentro, es decir, entre 37 personas, habrá". al menos 4 manzanas (37 ÷ 12 = 3...1, 3+1=4) pertenecen al mismo género

Ejemplo 6: Hay una pequeña estantería en una clase y 40 estudiantes. puede tomarlo prestado a voluntad ¿Cuántos libros se necesitan para garantizar que al menos 1 estudiante pueda tomar prestados dos o más libros?

Análisis: De la pregunta "1 estudiante puede tomar prestados dos o más libros", pensamos. esta oración corresponde a "hay dos o más manzanas en un cajón", por lo que debemos considerar a 40 estudiantes como 40 cajones y los libros como manzanas. Si un compañero toma prestado un libro, equivale a ponerlo en su cajón.

Plan 6: Tratar a 40 estudiantes como 40 cajones y a los libros como manzanas.

Según el "principio 1 del casillero", para garantizar que haya al menos dos manzanas en un cajón, el número de manzanas debe ser al menos 41=41. Es decir, en la estantería pequeña debe haber al menos 41 libros.

Echemos un vistazo a dos preguntas del examen nacional:

Ejemplo 7: (Pregunta de cuentas de 48 preguntas en la Categoría B del Examen Nacional de Servicio Civil de 2004);

En una bolsa hay 10 cuentas rojas, amarillas, azules y blancas, para asegurar que las cuentas tengan dos colores.

De manera similar, ¿cuántas piezas se deben sacar al menos? ( )

a3 b . 4 c . 5d 6

Opción 7: Si las cuentas se consideran "manzanas", hay 10 **, y el color de las cuentas. pueden considerarse "cajones" ”, esto puede garantizarlo.

Las cuentas que se han tocado tienen dos colores Suponemos que se colocan en "cajones" diferentes cada vez, toca 4.

Detrás de cada cuenta de diferente color, hay una en cada cajón. En este momento, si tocas 1 casualmente, debe haber uno.

Un “cajón” tiene dos cuentas, es decir, las dos cuentas son del mismo color. La respuesta es c.

Ejemplo 8: (Pregunta de póquer n.° 49 del Examen de la Función Pública Nacional de 2007):

Saque al menos () cartas de una baraja completa de naipes para garantizar que al menos 6 cartas tengan el mismo traje?

21

Solución 8: Hay 54 naipes completos, considerados como 54 "manzanas", y la carta extraída es 6 (pica, corazón, trébol, diamante, rey, rey ). Para garantizar que haya 6 cartas del mismo palo, asumimos que los primeros cuatro "cajones" tienen 5 cartas cada uno, y los dos últimos "cajones" cada uno tiene 65,438+0 cartas. La respuesta es c.

Resumen: Para resolver el problema del cajón, lo más importante es descubrir quién es la "Apple" y quién es el "cajón", y luego analizarlo en base a los dos principios. Se puede ver que no todos los "cajón" de problemas similares son obvios. A veces es necesario construir “cajones”. Este "cajón" puede ser una variación de fechas, naipes, resultados de exámenes, edad, estantería, etc. , pero el patrón general de preguntas no excederá este rango.