Pregunta real de matemáticas 2010
Primer intento
Preguntas de opción múltiple: (Esta pregunta vale 42 puntos, cada pregunta tiene 7 puntos)
1. Si todos son números enteros y se satisfacen, entonces (b)
A.1. segundo .
2. Si el número real satisface la ecuación, entonces el valor máximo posible es (c).
A.0. C.2. D.3
3. Si hay dos números positivos, y (c)
A. Segundo. do. d.
4. Si las dos raíces de la ecuación son también las raíces de la ecuación, entonces el valor de es (a).
A.-13.b-9. C.6.D.0.
5. En △, se sabe que D y E son puntos de los lados AB y AC respectivamente, entonces (b)
A.15. b20. C.25D.30
6. Para los números naturales, la suma de los números es, por ejemplo, (d)
A.28065. .28068
Rellena los espacios en blanco: (Esta pregunta vale 28 puntos, cada pregunta vale 7 puntos)
1.
2. La imagen de la función cuadrática se cruza con la dirección del eje positivo en los puntos A y B, y se cruza con la dirección del eje positivo en el punto c.
3. En el ángulo recto isósceles △ABC, AB = BC = 5, P es un punto en △ABC, PA =, PC = 5, entonces Pb = _ _ _ _ _.
4. Coloca varias bolas rojas y negras en una fila, requiriendo que ambas bolas aparezcan entre las cinco o 10 bolas del medio deben ser del mismo color. Según este requisito se pueden colocar un máximo de _ _ _ _ 15 _ _ bolas.
La segunda prueba (1)
1. (La puntuación total de esta pregunta es 20) Sea el número entero () la longitud de los tres lados del triángulo, y si satisface, encuentra que el perímetro no excede 30 el número de triángulos.
Esta solución se puede obtener a partir de la ecuación conocida.
①
En orden, entonces, todos son números naturales.
Entonces, la ecuación ① se convierte en, es decir,
②
Debido a que todos son números naturales, el juicio es fácil de saber, por lo que solo hay dos conjuntos de ecuación ②: y .
(1) Cuando, , es la longitud de los tres lados del triángulo, entonces, es la solución. Y como el perímetro del triángulo no pasa de 30, resuélvelo. Entonces puedes tomar los valores de 4, 5, 6, 7 y 8 y, en consecuencia, puedes obtener cinco triángulos calificados.
(2) Cuando, , son las longitudes de los tres lados del triángulo, entonces , es la solución. Y como el perímetro del triángulo no pasa de 30, esa es la solución. Entonces puedes tomar los valores de 2, 3, 4, 5, 6 y 7 y, en consecuencia, puedes obtener seis triángulos calificados.
En términos generales, el número de triángulos con un perímetro no mayor a 30 es 5·6 = 11.
2. (La puntuación total de esta pregunta es 25) Se sabe que la bisectriz de ∠C en el triángulo isósceles △ABC corta el lado AB en el punto P, y m es el punto tangente de la El círculo inscrito ⊙I de △ABC, es MD//AC, y corta a ⊙I en el punto d, lo que demuestra que PD⊙.
Está demostrado que la recta tangente PQ (punto tangente Q) del punto P es ⊙ I, y por extensión, el punto de intersección BC está en el punto n.
Porque CP es la bisectriz de ∠ACB, ∠ACP = ∠BCP.
Y como PA y PQ son tangentes a ≥I, ∠ APC = ∠ NPC.
Y CP es masculino * * *, entonces △ACP≔△NCP, entonces ∠ PAC = ∠ PNC.
De nm = qn y ba = BC, entonces △ qnm ∽△ BA=BC, entonces ∠ NM=QN = ∠ ACB, entonces MQ//AC.
Porque MD//AC, MD y MQ son una línea recta.
Los puntos Q y D están ambos en ⊙i, por lo que los puntos Q y D coinciden, por lo que PD es la tangente de ⊙i.
3. 25) Conocido La gráfica de la función cuadrática pasa por dos puntos P, q.
(1) Si ambos son números enteros, y.
(2) Suponga que los puntos de intersección de la imagen de la función cuadrática y el eje son A y B, y el punto de intersección con el eje es c. Si ambas raíces de la ecuación son números enteros, encuentre. el área de △ABC.
Los puntos solución p y q están en la gráfica de la función cuadrática, entonces,
Resuelve, .
(1) Del saber.
Es un número entero nuevamente, entonces...
(2) Sean las dos raíces enteras de la ecuación, y .
De la relación entre raíces y coeficientes, podemos obtener, eliminar, obtener,
Multiplicar ambos lados por 9 a la vez, obtener, factorizar, obtener.
Entonces o o o o o
Resolver o o o o o
También es un número entero, por lo que los últimos tres conjuntos de soluciones se descartan, por lo que .
Por tanto, la fórmula analítica de la función cuadrática es.
Las coordenadas del punto A y el punto B son (1, 0) y (2, 0) respectivamente, y las coordenadas del punto C son (0, 2), por lo que el área de △ABC es.
Segunda prueba (b)
1. (La puntuación total de esta pregunta es 20) Suponga que un número entero es la longitud de los tres lados del triángulo si se cumple. , encuentra un triángulo cuyo perímetro no exceda 30 El número de (los triángulos congruentes solo se cuentan una vez).
Las soluciones pueden ser hipotéticas y obtenerse a partir de ecuaciones conocidas.
①
En orden, entonces, todos son números naturales.
Entonces, la ecuación ① se convierte en, es decir,
②
Debido a que todos son números naturales, el juicio es fácil de saber, por lo que solo hay dos conjuntos de ecuación ②: y .
(1) Cuando, , es la longitud de los tres lados del triángulo, entonces, es la solución. Y como el perímetro del triángulo no pasa de 30, resuélvelo. Entonces puedes tomar los valores de 4, 5, 6, 7 y 8 y, en consecuencia, puedes obtener cinco triángulos calificados.
(2) Cuando, , son las longitudes de los tres lados del triángulo, entonces , es la solución. Y como el perímetro del triángulo no pasa de 30, esa es la solución. Entonces puedes tomar los valores de 2, 3, 4, 5, 6 y 7 y, en consecuencia, puedes obtener seis triángulos calificados.
En términos generales, el número de triángulos con un perímetro no mayor a 30 es 5·6 = 11.
2. (La puntuación total para esta pregunta es 25) El tipo de pregunta y la solución son los mismos que los de la segunda pregunta del documento (a).
3. (La puntuación total para esta pregunta es 25) El tipo de pregunta y la solución son los mismos que los de la tercera pregunta del Documento (a).
Segunda prueba (c)
1. (La puntuación total para esta pregunta es 20) El tipo de pregunta y la solución son los mismos que los de la primera pregunta del ensayo (b).
2. (La puntuación total para esta pregunta es 25) El tipo de pregunta y la solución son los mismos que los de la segunda pregunta del documento (a).
3. (Esta pregunta vale 25 puntos) Supongamos que es un número primo mayor que 2 y k es un número entero positivo. Si al menos uno de los dos puntos de intersección de la gráfica de la función y el eje X tiene una abscisa que es un número entero, encuentra el valor de k.
Según la pregunta, al menos uno de los dos Las raíces de la ecuación son un número entero.
Según la relación entre raíces y coeficientes, existe
①
(1) Si, la ecuación es y tiene dos raíces enteras.
(2)Si, entonces.
Como son números enteros, si al menos uno es un número entero, entonces todos son números enteros.
Al ser un número primo, se puede conocer a partir de la fórmula (1).
Si se establece, se puede establecer (donde m es un número entero distinto de cero), lo que se puede obtener de la fórmula (1).
Entonces, eso es.
Nuevamente, esto es
②
Si m es un número entero positivo, entonces, y por lo tanto, contradice la Ecuación 2.
Si m es un entero negativo, entonces, y por lo tanto, contradice la Ecuación 2.
Entonces una ecuación no puede tener raíces enteras.
En resumen,.