2009 Examen de ingreso a la escuela secundaria provincial de Jiangsu Axiomas y teoremas de matemáticas

1 Números y álgebra

1 Suma de números

(1) Números reales

Propiedades de los números reales:

①El inverso del número real A es -A, y el recíproco del número real A es (A≠0);

(2) El valor absoluto del número real a:

(3) Los números positivos son mayores que 0, los números negativos son menores que 0, dos números reales negativos, el valor absoluto mayor es menor.

Fórmula radical cuadrática:

①Propiedades de operación de la raíz cuadrada del producto y cociente:

(a≥0, b≥0);

(a≥0, b>0);

(2) Propiedades de las raíces cuadráticas:

(2) Fórmulas algebraicas y fracciones.

① Reglas para la multiplicación de números con la misma base: multiplicación con la misma base, la base permanece sin cambios y se suman los exponentes, es decir (m, n son enteros positivos

② División de potencias con la misma base Regla: dividir potencias con la misma base, mantener la base sin cambios y restar el exponente, es decir (a≠0, m, n es un entero positivo, m >; n) ;

(3) Ley de potencia: La potencia es potencia, la base permanece sin cambios, multiplicada por el exponente, es decir (n es un entero positivo).

④Exponente cero: (a); ≠0);

⑤Índice entero negativo: (a≠ 0, n es un entero positivo);

6 Fórmula de diferencia cuadrada: el producto de la suma de dos números y la diferencia entre los dos números es igual al cuadrado de los dos números, es decir;

⑦Fórmula del cuadrado perfecto: El cuadrado de la suma (o diferencia) de dos números es igual a la suma de sus cuadrados, más (o restar) el doble de su producto, es decir;

Fracción

① Propiedades básicas de las fracciones: El numerador y el denominador de la fracción se multiplican (o dividen) por el mismo algebraico. expresión que no es igual a cero, y el valor de la fracción permanece sin cambios, es decir;, donde m es la expresión algebraica que no es igual a cero

(2) Reglas para la multiplicación de fracciones:

(3) Reglas para la división de fracciones:

(4) Ley potencial de las fracciones: (n es un entero positivo);

⑤Reglas para sumar y restar fracciones con el mismo denominador:

⑥Reglas para sumar y restar fracciones con diferentes denominadores:

2. Ecuaciones y desigualdades

(1) La fórmula de la raíz de la ecuación cuadrática (a≠0):

(2) El discriminante de las raíces de la ecuación cuadrática: El discriminante de las raíces de la ecuación cuadrática (a≠0) ;

Esta ecuación tiene dos raíces reales desiguales;

Esta ecuación tiene dos raíces reales iguales;

Esta ecuación no tiene raíces reales;

③La relación entre las raíces y coeficientes de una ecuación cuadrática: Supongamos que y son las dos raíces de la ecuación (a≠0), entonces +=, =;

Propiedades básicas de las desigualdades:

① Sumar ( o restar) el mismo número o la misma expresión algebraica a ambos lados de la desigualdad, y la dirección de la desigualdad permanece sin cambios

② Multiplicar (o dividir) el mismo número positivo en ambos lados de la desigualdad; , la dirección de la desigualdad permanece sin cambios;

③ Cuando ambos lados de la desigualdad se multiplican (o dividen) por el mismo número negativo, la dirección de la desigualdad cambia

3; . Función

Gráfica de una función lineal: La imagen de la función y=kx+b (k y b son constantes, k≠0) es una línea recta que pasa por el punto (0, b) y. paralela a la línea recta y=kx;

Propiedades de la función lineal: Supongamos que y=kx+b(k≠0), entonces k > 0, y aumenta con el aumento de x cuando k < 0, y disminuye con el aumento de x;

Gráfica de la función de proporción: La gráfica de la función es una recta que pasa por el origen y el punto (1,k).

Propiedades de la función proporcional: si, entonces:

(1) Cuando k >, y aumenta a medida que x aumenta;

② Cuando k<; /p>

La gráfica de la función proporcional inversa: la función (k≠0) es una hipérbola;

Las propiedades de la función proporcional inversa: Sea (k≠0), si k > 0, entonces Cuando x>0 o La apertura es hacia arriba, y cuando

②Eje de simetría: línea recta;

③Coordenadas del vértice (;

④Aumentar o disminuir: cuando a >; 0, si , entonces y disminuye con el aumento de x, si, entonces y aumenta con el aumento de x cuando a & lt0, si, entonces y aumenta con el aumento de x, si, entonces y disminuye cuando x; aumenta;

Segundo, espacio y gráficos

1. Comprensión de los gráficos

(1) Ángulo

Propiedades de la bisectriz del ángulo: Los puntos de la bisectriz del ángulo son equidistantes de ambos lados del ángulo, y los puntos desde el interior hacia ambos lados del ángulo se cruzan en la bisectriz del ángulo

(2) Rectas y rectas paralelas

Los ángulos suplementarios de un mismo ángulo o de ángulos iguales son iguales, y los ángulos suplementarios de un mismo ángulo o de ángulos iguales son iguales;

Propiedades de los ángulos metatarsianos opuestos: Los ángulos metatarsianos opuestos son igual /p>

Propiedades de las rectas verticales:

(1) Hay y sólo hay una recta perpendicular a la recta conocida;

(2) Hay. un punto fuera de la línea recta y la línea recta Entre todos los segmentos de línea que conectan los puntos anteriores, el segmento de línea vertical es el más corto;

La definición de la línea perpendicular de un segmento de línea: la línea recta que pasa que pasa por el punto medio del segmento de línea y es perpendicular al segmento de línea se llama línea perpendicular del segmento de línea;

Propiedades de una línea perpendicular en un segmento de línea: Un punto en la línea perpendicular en un segmento de línea es equidistante de ambos extremos del segmento de línea, y un punto equidistante de ambos extremos del segmento de línea es la línea perpendicular media del segmento de línea;

Definición de líneas paralelas: dos líneas rectas que no se cruzan en el mismo plano se llaman líneas paralelas;

Determinación de líneas paralelas:

(1) En el mismo ángulo, dos líneas rectas son paralelas;

②Los ángulos internos de dislocación son iguales y las dos rectas son paralelas;

③Los ángulos internos del mismo lado son complementarios y las dos rectas son paralelas;

Características de las rectas paralelas:

(1) Dos rectas son paralelas y el mismo ángulo es igual;

②Dos rectas son paralelas y los ángulos de dislocación interna son iguales;

③Dos las rectas son paralelas y complementarias;

Axioma de las paralelas: Existe y sólo hay una recta que pasa por un punto exterior a la recta y es paralela a una recta conocida.

(3) Triángulo

El teorema de la relación de los tres lados y corolario de un triángulo: Triángulo La suma de dos lados es mayor que el tercer lado y la diferencia entre los dos lados es menor que el tercer lado. ;

Teorema de la suma de los ángulos interiores de un triángulo: la suma de los tres ángulos interiores de un triángulo es igual a;

Teorema de la suma de los ángulos exteriores de un triángulo : la suma de los ángulos exteriores de un triángulo Un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de dos ángulos exteriores no adyacentes;

Ángulos exteriores de un triángulo y razonamiento del teorema: Un ángulo exterior de un un triángulo es mayor que cualquier ángulo interior que no sea adyacente a él;

Triángulo Las tres bisectrices de un triángulo se cortan en un punto (centro);

Las perpendiculares medias de los tres los lados de un triángulo se cortan en un punto (centro exterior);

Teorema de la línea media del triángulo: el punto medio de los dos lados del triángulo está conectado La línea es paralela al tercer lado y es igual a la mitad del tercer lado;

Juicio de triángulos congruentes:

(1) Axioma del lado (SAS)

( 2) Axioma del ángulo (ASA)

③Teorema del ángulo lateral (AAS)

④Axioma del lado (SSS)

⑤Axioma de hipotenusa y ángulo recto (HL)

Propiedades de un triángulo isósceles;

①Los dos ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales;

②Las bisectrices y las bases de los ángulos del vértice de un triángulo isósceles La línea central en la parte superior coincide con la altura en el borde inferior ( tres líneas combinadas en una).

Determinación de un triángulo isósceles;

Un triángulo con dos ángulos iguales es un triángulo isósceles;

Propiedades de un triángulo rectángulo:

①Los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo son ángulos suplementarios;

②La línea media de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la mitad de la hipotenusa;

③La suma de los cuadrados de los dos ángulos rectos de un triángulo rectángulo son iguales al cuadrado de la hipotenusa (teorema de Pitágoras);

(4) El lado rectángulo de un triángulo rectángulo es igual a la mitad de la hipotenusa;

Determinación de un triángulo rectángulo;

① Un triángulo con dos ángulos suplementarios es un triángulo rectángulo;

(2) Un triángulo es un triángulo rectángulo (el recíproco del teorema de Pitágoras) si las longitudes de sus tres lados A, B y C tienen las siguientes relaciones.

(4) Cuadrilátero

Teorema de la suma de los ángulos interiores del polígono: La suma de los ángulos interiores de N polígonos es igual a (n≥3, N es un entero positivo);

Propiedades del paralelogramo:

① Los lados opuestos de un paralelogramo son iguales

② Las diagonales de un paralelogramo son iguales

(3) Diagonales; de un paralelogramo Partes iguales;

Determinación de paralelogramos;

① Dos conjuntos de cuadriláteros con ángulos opuestos iguales son paralelogramos;

② Dos conjuntos de cuadriláteros con ángulos opuestos iguales los lados opuestos son paralelogramos;

③Un cuadrilátero cuyas diagonales se bisecan entre sí es un paralelogramo;

④Un conjunto de paralelogramos cuyos lados opuestos son paralelos e iguales es un paralelogramo.

Propiedades de los rectángulos: (excepto todas las propiedades de los paralelogramos)

①Las cuatro esquinas de un rectángulo son ángulos rectos;

②Las diagonales de un rectángulo son iguales;

Determinación de un rectángulo:

①Un cuadrilátero con tres ángulos rectos es un rectángulo;

②Un paralelogramo con diagonales iguales es un rectángulo;

Características de un rombo: (Además de todas las propiedades de un paralelogramo,

①Los cuatro lados de un rombo son iguales;

(2) Las diagonales de un rombo bisecan entre sí perpendicularmente, y cada Una línea diagonal biseca un conjunto de diagonales;

La decisión de un diamante:

Un cuadrilátero con cuatro lados iguales es un rombo;

Características de un cuadrado:

①Los cuatro lados de un cuadrado son iguales;

②Las cuatro esquinas de un cuadrado son ángulos rectos;

(3) Las dos diagonales de un cuadrado son iguales y perpendiculares Divide, cada diagonal biseca un grupo de diagonales;

La prueba del cuadrado:

①Un rombo con ángulos rectos es un cuadrado;

②Un grupo Un rectángulo con lados adyacentes iguales es un cuadrado

Características de un trapezoide isósceles

①Dos ángulos interiores en la misma base de un trapezoide isósceles son. igual

②Igual. Las dos diagonales de un trapezoide de cintura son iguales

Determinación de un trapecio isósceles

① Dos trapecios con ángulos interiores iguales. misma base son trapecios isósceles

②Dos trapecios con diagonales iguales son trapecios isósceles.

Mosaico de gráficos planos;

Cualquier triángulo, cuadrilátero o hexágono regular puede ser mosaico con plano;

(5) Círculo

La relación posicional entre el punto y el círculo (sea r el radio del círculo y d la distancia desde el punto p al centro o);

(1) Para el punto p en el círculo, entonces d=r, y viceversa;

②El punto p está dentro del círculo, entonces d

③El punto P está fuera del círculo, entonces d & gtr, y viceversa;

El ángulo central del círculo, Relación entre cuerdas y arcos: En el mismo círculo o círculos iguales, siempre que un grupo del ángulo central, cuerda y arco sea igual, los otros dos grupos pueden también ser iguales;

Determinación de un círculo: no en línea recta Los tres puntos de determinan un círculo;

Teorema del diámetro vertical (y el corolario del teorema del diámetro vertical): el diámetro perpendicular a la cuerda biseca la cuerda y biseca los dos arcos opuestos a la cuerda;

Arcos paralelos iguales entre cuerdas: los arcos entre dos cuerdas paralelas de un círculo son iguales;

Teorema del ángulo central: el grado del ángulo central de un círculo es igual al grado del arco al que se enfrenta;

El ángulo central de un círculo El teorema y corolario de la relación entre arcos, cuerdas y distancias entre centros de cuerda: en el mismo círculo o dentro del mismo círculo, los arcos opuestos a ángulos centrales iguales son iguales, y las distancias entre centros de cuerdas de cuerdas opuestas son iguales;

Corolario: en el mismo círculo o dentro del mismo círculo, si un conjunto de cantidades entre dos ángulos centrales, dos arcos, dos cuerdas o dos distancias entre centros de cuerdas son iguales, entonces el otro conjunto correspondiente de cantidades son iguales respectivamente;

El teorema del ángulo de un círculo: el ángulo de un círculo es igual a la mitad del ángulo del arco que enfrenta;

El corolario del teorema del filete: el filete correspondiente al diámetro es un ángulo recto, y a la inversa, la cuerda al filete le corresponde el diámetro;

Teorema para determinar las rectas tangentes: una recta que pasa por el extremo exterior de un radio y es perpendicular a este radio es la recta tangente de un círculo;

Teorema de las propiedades de las rectas tangentes: la recta tangente de un círculo es perpendicular al punto tangente. El radio de;

Fórmula para calcular la longitud del arco: (r es el radio del círculo, n es el centro ángulo del arco, y es la longitud del arco)

Área del sector: o (r es el radio, n es el ángulo central del ventilador y es la longitud del arco del ventilador)

El área del arco

(6) Dibujo con regla (dibujo básico, usando gráficos básicos para hacer triángulos y círculos)

Haz un segmento de línea igual a un segmento de línea conocido y un ángulo igual a un ángulo conocido; hacer una bisectriz de un ángulo conocido; servir como bisectriz perpendicular de un segmento de línea; una línea perpendicular que pasa por un punto es una línea recta conocida

(7) Puntos de vista y predicciones

Dibuje tres vistas (vista frontal, vista izquierda, vista superior) de geometría básica (prisma derecho, cilindro, cono, esfera);

El diagrama de expansión de figuras geométricas básicas ( excepto bolas), juzgar y establecer un modelo tridimensional basado en el diagrama de expansión;

2. Gráficos y transformaciones

Simetría axisimétrica del gráfico

Básico. propiedades de la simetría axial: los segmentos de línea que conectan puntos correspondientes están divididos equitativamente por el eje de simetría;

Los triángulos isósceles, rectángulos, rombos, trapecios isósceles, polígonos regulares y círculos son figuras axialmente simétricas;

p>

Traducción gráfica

Las propiedades básicas de la traducción gráfica: las líneas que conectan los puntos correspondientes son paralelas e iguales;

Rotación gráfica

La Las propiedades básicas de la rotación gráfica son: La distancia entre el punto correspondiente y el centro de rotación es igual, la distancia entre el punto correspondiente y el centro de rotación es igual y los ángulos formados por las líneas que conectan el punto correspondiente y el centro de rotación son iguales entre sí;

Paralelogramo, rectángulo, rombo, polígono regular (el número de lados es un número par), el círculo es una figura centralmente simétrica;

La similitud de figuras

Las propiedades básicas de la proporción: si, entonces, si, entonces

Método de clasificación de triángulos semejantes: ① Dos conjuntos de ángulos son iguales y correspondientes (2) Ambos lados; son proporcionales y los ángulos incluidos son iguales ③ Tres lados son proporcionales.

Propiedades de triángulos similares: ① Los ángulos correspondientes de triángulos similares son iguales; ② Los lados correspondientes de triángulos similares son proporcionales ③ La razón de los perímetros de triángulos similares es igual a la razón de similitud; la relación de área de triángulos similares es igual al cuadrado de la relación de similitud;

Atributos de polígonos similares:

①Los ángulos correspondientes a polígonos similares son iguales ②Los lados correspondientes de polígonos similares son; proporcional;

③La relación de área de polígonos similares es igual al cuadrado de la relación de similitud;

La relación entre similitud gráfica y similitud gráfica: dos gráficos que son similares no significan necesariamente que las gráficas son similares, pero dos gráficas que son similares deben ser similares;

En Rt△ABC , ∠C=, SinA=, cosA=, tanA=,

CotA=

Valor de la función trigonométrica del ángulo especial:

Sinα

Cos α

tanα

1

Cotα

1

Tres. Probabilidad y Estadística

1. Estadística

Métodos de recopilación de datos y métodos de presentación de datos (tablas estadísticas y gráficos en abanico, gráficos de líneas y gráficos de barras)

(1) Población y muestra

Todos los objetos a examinar se denominan población, cada objeto se denomina individuo y algunos individuos extraídos de la población se denominan muestras de la población. La cantidad se denomina capacidad de la muestra. .

Análisis de datos y toma de decisiones (use el conocimiento estadístico aprendido para organizar y analizar los datos recopilados, y luego emitir juicios y decisiones sobre los resultados del análisis)

(2) Número público y mediana

Moda: los datos más frecuentes en un conjunto de datos;

Mediana: un conjunto de datos ordenados de mayor a menor, en el medio Ubicación.

(3) Histograma de distribución de frecuencias

Frecuencia =, la suma de las frecuencias de cada grupo es igual al número total, la suma de las frecuencias de cada grupo es igual a 1 , la frecuencia de cada pequeño rectángulo en el histograma de distribución de frecuencia es El área es la frecuencia de cada grupo.

(4) Dos fórmulas medias.

①El número promedio de n,..., es:

(2) Si hay tiempos, tiempos y tiempos entre n números, y ++= n, entonces;

p>

(5) Fórmula de cálculo del rango, varianza y desviación estándar:

(1) Rango:

El valor máximo de un conjunto de datos menos el valor mínimo se obtiene. La diferencia refleja el rango de variación de este conjunto de datos. La diferencia obtenida por este método se llama rango de valores extremos, es decir, rango de valores extremos = valor máximo - valor mínimo;

②Varianza:

La varianza de los datos. .., es ,

Entonces=

③Desviación estándar:

La desviación estándar de los datos,...,

Entonces =

Cuanto mayor sea la varianza de un conjunto de datos, mayor será la fluctuación de este conjunto de datos.

2. Posibilidad

① Si la probabilidad de un evento está representada por P, entonces 0≤P(a)≤1;

p (evento inevitable) ) = 1; p (evento imposible) = 0;

②Comprender el significado de probabilidad en situaciones específicas y utilizar métodos de enumeración (incluidas listas y diagramas de árbol) para calcular la probabilidad de eventos simples.

③La frecuencia de experimentos repetidos puede considerarse como una estimación de la probabilidad de un evento;

3. El conocimiento preliminar de estadística y probabilidad se utiliza ampliamente en la vida social y el conocimiento. aprendido Puede usarse para resolver problemas prácticos.