Respuestas y explicaciones detalladas del examen de ingreso a la universidad de artes liberales y matemáticas de Anhui 2010 (se puede ver en teléfonos móviles)
Volumen Ⅰ (preguntas de opción múltiple ***50 puntos)
1. Preguntas de opción múltiple: esta gran pregunta tiene 10 preguntas pequeñas, cada pregunta vale 5 puntos y el total es 50 puntos. Entre las cuatro opciones dadas en cada pregunta. Sólo un ítem cumple con los requisitos de la pregunta.
(1) Si A= , B= , entonces =
(A)(-1, ∞) (B)(-∞, 3) (C)(-1 , 3) (D) (1, 3)
Respuesta: Análisis C: Es fácil saberlo dibujando una recta numérica.
Se conoce (2), entonces i( )=
(A) (B) (C) (D)
Respuesta: Análisis B: cálculo directo.
(3) Supongamos el vector, , entonces cuál de las siguientes conclusiones es correcta Sí
(A) (B)
(C) (D) y vertical
Respuesta: D Análisis: Utilice el método de cálculo y eliminación de fórmulas.
(4) La ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 0) y es paralela a la recta x-2y-2=0 es
(A) x-2y-1=0 (B )x-2y 1=0 (C)2x y-2=0 (D)x 2y-1=0
Respuesta: A Análisis: Utilice la ecuación punto-pendiente.
(5) Suponga que la suma de los primeros n términos de la secuencia {} es =, entonces el valor es
(A) 15 (B) 16 (C) 49 (D) 64
Respuesta: Análisis A: Utilice =S8-S7, es decir, la suma de los primeros 8 términos menos la suma de los primeros 7 términos.
(6) Supongamos que abc>0, la imagen de la función cuadrática f(x)=ax2 bx c es posible Sí
Respuesta: D Análisis: utilizando la relación entre la dirección de apertura a, la posición del eje de simetría y el punto de intersección c en el eje y, y combinando abc>0 para producir una contradicción, es fácil de descubrir usando el método de eliminación.
p>(7) Supongamos que a=, b=, c=, entonces la relación entre a, byc es
(A) a>c>b (B) a>b> c (C) c>a>b (D) b>c>a
Respuesta: A Análisis: Use la función de potencia para comparar a y c, y luego use la función exponencial para comparar b y c.
(8) Supongamos que x e y satisfacen las restricciones, entonces la función objetivo z=x y el valor máximo de y es
(A) 3 (B) 4 (C) 6 ( D) 8
Respuesta: Análisis C: Es fácil encontrar la región factible dibujándola.
(9) Las tres vistas de un cuerpo geométrico son como se muestran en la figura El área superficial del cuerpo geométrico es
(A) 372 (C) 292
(B) 360 (D) 280
Respuesta: Análisis B: Puede entenderse como un cuboide con una longitud de 8, un ancho de 10 y una altura de 2 y un cuboide con una longitud de 6 y un ancho de 2, un cuboide con una altura de 8, tenga en cuenta que 2×6 se superpone dos veces y debe restarse.
(10) A selecciona aleatoriamente dos vértices de los cuatro vértices del cuadrado para conectarlos en una línea recta, y B también si dos de los cuatro Los vértices del cuadrado están conectados para formar una línea recta, la probabilidad de que las dos líneas rectas resultantes sean perpendiculares entre sí es
(A) (B) (C) (D)
Respuesta: Análisis C: Todos los posibles 6 × 6, las dos rectas obtenidas perpendiculares entre sí son 5 × 2.
Matemáticas (artes liberales) (Volumen Anhui)
Parte Ⅱ Documento (Preguntas que no son de elección ***100 puntos)
2. Preguntas para completar en blanco: esta gran pregunta tiene 5 preguntas pequeñas, cada pregunta vale 5 puntos y el total es 25 puntos. ¿Completa la respuesta en la posición correspondiente en la hoja de respuestas?
(11) La negación de la proposición "Existe x∈R tal que x2 2x 5=0"
Respuesta : Para cualquier X∈ R, ambos tienen Las coordenadas son
Respuesta: (2, 0) Análisis: Es fácil saberlo usando la definición.
(13) Como se muestra en la figura, el valor de salida x del diagrama de bloques del programa (diagrama de flujo del algoritmo) =
Respuesta: 12 Análisis: Los valores secuenciales de X durante la operación son: 1, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12.
(14) Hay 100.000 residentes en un lugar determinado, incluidas 99.000 familias comunes y corrientes y 1.000 familias de altos ingresos. Se seleccionaron 990 hogares mediante muestreo aleatorio simple de hogares comunes y 100 hogares de hogares de altos ingresos mediante muestreo aleatorio simple para la investigación. Se encontró que 120 hogares poseían 3 o más conjuntos de viviendas, de los cuales 50 eran hogares comunes. hogares, 70 hogares de altos ingresos. Con base en estos datos y combinados con el conocimiento estadístico que tiene, cree que es una estimación razonable de la proporción de hogares con 3 o más casas en esta área.
Respuesta: 5.7 Análisis: , , fácil de saber
(15) Si agt; 0, bgt; 0, a b=2, entonces la siguiente desigualdad siempre es cierta para todos los a y b que satisfacen las condiciones (Escribe los números de todas las proposiciones correctas). .
①ab≤1; ② ≤; ③a2 b2≥2; ④a3 b3≥3;
Respuesta: ①, ③, ⑤ Análisis: ①, ⑤ son iguales después de la simplificación. a =b=1 Excluye ②, Yi Zhi ④ y luego usa Yi Zhi ③ para corregir
3. Responde las preguntas: Esta gran pregunta *** 6 preguntas pequeñas. ***75 puntos. La solución debe incluir una explicación escrita, un proceso de prueba o pasos de cálculo. Escribe la solución en el área designada en la hoja de respuestas.
(16) El área de △ABC es 30, los ángulos interiores A, B y C, y las longitudes de los lados opuestos son a, b, cy cosA= .
(1) Encontrar
(2) Si c-b= 1, encuentre el valor de a.
(Esta pregunta vale 12 puntos) Esta pregunta prueba el mismo ángulo Relaciones básicas de funciones triangulares, fórmula del área triangular, producto cuantitativo de vectores, usando la ley del coseno para comprender los triángulos y las habilidades de resolución computacional.
Solución: de cosA =1213, obtenemos sinA= =513.
También 12 bc sinA=30, ∴bc=156
(1) =bc cosA=156?1213 =144.
(2) a2=b2 c2-2bc cosA =(c-b)2 2bc(1-cosA)=1 2?156?(1-1213)=25,
∴a =5
(17) La elipse E pasa por el punto A (2, 3), el eje de simetría es el eje de coordenadas, los focos F1 y F2 están en el eje x, la excentricidad.
(1) Encuentra la ecuación de la elipse E;
(2 ) Encuentra la ecuación de la recta donde se encuentra la bisectriz del ángulo de ∠F1AF2.
(Esta pregunta vale 12 puntos) Esta pregunta pone a prueba la definición de elipse, la ecuación estándar de elipse y propiedades geométricas simples, la ecuación punto-pendiente de una línea recta y ecuaciones generales, fórmulas de distancia de puntos a líneas rectas y otros conocimientos básicos. , pruebe las ideas básicas y la capacidad de cálculo integral de la geometría analítica.
Solución: (1) Suponga que la ecuación de la elipse E está dada por e=12, obtenemos ca = 12, b2=a2-c2 = 3c2. ∴ Sustituyendo A (2, 3) en, tenemos, la solución es: c=2, la ecuación de la elipse E es
(Ⅱ) De (Ⅰ), sabemos F1 (-2). , 0), F2 (2, 0), por lo que la ecuación de la recta AF1 es y=34 (X 2),
Es decir, 3x-4y 6=0. es x= 2. De la gráfica de la elipse E, sabemos que la pendiente de la línea recta donde se encuentra la bisectriz del ángulo de ∠F1AF2 es un número positivo.
Supongamos que P (x, y) es la bisectriz del ángulo de ∠F1AF2 En cualquier punto de la línea recta donde se encuentra la línea,
entonces hay
Si 3x-4y 6=5x-10, obtenemos Go.
p>
Entonces 3x-4y 6=-5x 10, es decir, 2x-y-1=0.
Entonces la ecuación de la recta donde se encuentra la bisectriz del ángulo de ∠F1AF2
es 2x-y-1=0.
18 (La puntuación total para esta pregunta es 13 puntos)
El índice de contaminación del aire de una ciudad del 1 al 30 de abril de 2010 Los datos de las pruebas son los siguientes (los principales contaminantes son partículas inhalables):
61, 76, 70, 56, 81, 91, 92, 91, 75, 81, 88, 67, 101, 103, 95 , 91,
77, 86, 81, 83, 82, 82, 64, 79, 86, 85, 75, 71, 49, 45,
(Ⅰ ) Completar tabla de distribución de frecuencia;
(II) Hacer un histograma de distribución de frecuencia;
(III) Según los estándares nacionales, cuando el índice de contaminación está entre 0 y 50, la calidad del aire es excelente: en 51 Cuando está entre ~100, es bueno cuando está entre 101 y 150, está ligeramente contaminado cuando está entre 151 y 200, está ligeramente contaminado;
Por favor, proporcione una breve evaluación de la calidad del aire de la ciudad basándose en los datos proporcionados y los estándares anteriores.
(La puntuación total para esta pregunta es 13 puntos) Esta pregunta evalúa la frecuencia, El histograma de frecuencia y distribución de frecuencia prueba la capacidad de utilizar el conocimiento estadístico para resolver problemas prácticos simples, la capacidad de procesamiento de datos y el conocimiento de la aplicación.
Solución: (Ⅰ) Tabla de distribución de frecuencia:
Frecuencia del grupo frecuencia
［41,51) 2 230
［51,61) 1 130
［61,71) 4 430
［71 , 81) 6 630
［81,91) 10 1030
［91,101) 5 530
［101,111) 2 230
(Ⅱ) Histograma de distribución de frecuencias:
(Ⅲ) Simplemente responda correctamente una de las siguientes dos preguntas:
(i) Contaminación del aire en la ciudad en un mes Hubo 2 días en los que el índice estuvo en un nivel excelente, lo que representó 115 de los días del mes. Hubo 26 días en los que estuvo en un buen nivel, lo que representó 1315 de los días del mes. cuando el índice fue excelente o bueno, lo que representa 1415 de los días del mes. Explique que esto. La calidad del aire en la ciudad es básicamente buena.
(ii) Hay 2 días de contaminación leve. representando 115 de los días del mes Hay 15 días de contaminación casi leve con un índice de contaminación superior a 80, más el número de días de contaminación leve, *** hay 17 días, que representan 1730 de los días en. el mes, más de 50. Esto indica que es necesario mejorar aún más la calidad del aire de la ciudad.
(19) (La puntuación total para esta pregunta es 13 puntos)
Como se muestra en la figura, en el poliedro ABCDEF, el cuadrilátero ABCD es un cuadrado, AB=2EF=2, E F∥AB, EF⊥FB, ∠BFC=90°, BF=FC, H es el punto medio de BC,
(Ⅰ) Verificar: FH∥ plano EDB;
(Ⅱ) Verificar: AC⊥ plano EDB
(Ⅲ) Encontrar el volumen del tetraedro B-DEF;
p>
(La puntuación total de esta pregunta es 13 puntos) Esta pregunta evalúa conocimientos básicos como líneas y planos paralelos en el espacio, líneas y planos verticales, planos perpendiculares y cálculos de volumen, etc. También pone a prueba la imaginación espacial y la capacidad de razonamiento.
(Ⅰ) Prueba: Supongamos que AC y BD se cruzan en el punto G, entonces G es el punto medio de AC. Conecte EG y GH. Dado que H es el punto medio de BC. , GH∥AB y GH= AB y EF∥AB y EF= AB
∴EF∥GH Y EF=GH ∴El cuadrilátero EFHG es un paralelogramo.
∴EG∥. FH, y EG es el plano EDB, ∴FH∥plano EDB.
(Ⅱ) Prueba: Del cuadrilátero ABCD a un cuadrado, tenemos AB⊥BC.
También EF∥ AB, ∴ EF⊥BC. Y EF⊥FB, ∴ EF⊥ plano BFC, ∴ EF⊥FH.
∴ AB⊥FH Y BF=FC H es el punto medio de BC, FH⊥BC. ∴ FH⊥ plano ABCD.
∴ FH⊥AC Y FH∥EG, ∴ AC⊥EG Y AC⊥BD, EG∩BD=G,
∴ AC⊥ plano. EDB.
(Ⅲ) Solución: ∵ EF⊥FB , ∠BFC=90°, ∴ BF⊥ plano CDEF.
∴ BF es la altura del tetraedro B-DEF. Y BC=AB=2, ∴ BF=FC=
(20) (La puntuación total de esta pregunta es 12 puntos)
Supongamos que la función f(x) = sinx- cosx x 1, 0﹤x﹤2, y encuentre el intervalo monótono y el valor extremo de la función f(x)
(La puntuación total de esta pregunta es 12 puntos) Esta pregunta prueba el funcionamiento de. derivadas, utiliza derivadas para estudiar la monotonicidad y los valores extremos de funciones y prueba la capacidad de utilizar de manera integral el conocimiento matemático para resolver problemas.
Solución: De f(x)=senx-cosx x 1, 0﹤x﹤2,
>
Sabemos =cosx sinx 1,
Entonces =1 sin(x).
Sea = 0, entonces sin(x)=-, obtenemos x=, o x =32.
Cuando x cambia, , f(x) cambia de la siguiente manera:
X (0, )
（ ,32）
p>
32
(32, 2)
0 - 0
f(x) aumentando monótonamente ↗ 2
Monótonamente decreciente↘ 32
Monótonamente creciente↗
Por lo tanto, de la tabla anterior, sabemos que el intervalo monótonamente creciente de f(x) es (0, ) y (32, 2), y el intervalo monótonamente decreciente es (, 32), el valor mínimo es f (32) = 32 y el valor máximo es f () = 2.
(21) (La puntuación total para esta pregunta es 13 puntos)
Supongamos que..., ,... son una serie de círculos en el plano de coordenadas. Todos sus centros están en el semieje positivo del. eje x, y todos son tangentes a la línea recta y = x. Para cada número entero positivo n, los círculos están circunscritos al círculo y se sabe que el radio representado por él es una secuencia creciente.
(Ⅰ) Demuestre que: es una secuencia geométrica;
(II) Suponga = 1 y encuentre la secuencia La suma de los primeros n términos de p>
Solución: (Ⅰ ) Anota el ángulo de inclinación de la recta y= Sabiendo = sin = 12, obtenemos = 2 de la misma manera, sustituyendo = 2 por lo que sabemos en la pregunta, obtenemos rn 1=3rn.
Entonces {rn} es una secuencia geométrica con una razón común q=3.
(II) Dado que r1=1, q=3, entonces rn=3n-1, por lo tanto =n?,
Recuerda Sn=, entonces Sn=1 2? 3-1 3?3-2 ……… n? …… (n-1) ? n? ② ①-②, Obtener
=1 3-1 3-2………… -n? /p>
Sn= – (n)?