Preguntas del examen de la Liga de Matemáticas 2012 y explicaciones detalladas de cada pregunta
Primer intento
Preguntas de opción múltiple: (La puntuación total de esta pregunta es 42 puntos, cada pregunta es 7 puntos)
1 .Se sabe que ,, entonces la relación de tamaño es (c)
A.B.
2. El número de soluciones enteras de la ecuación es (b)
A.3.5. 3. Se sabe que la longitud del lado del cuadrado ABCD es 1, e es un punto en la línea de extensión del lado BC, ce = 1, AE está conectado, se cruza con CD en el punto F, BF está conectado y se extiende hasta cruzarse con el segmento de línea de en el punto G, luego BG La longitud es (D).
A.B.C.D.
4. Si los números reales conocidos satisfacen, entonces el valor mínimo es (b)
A. segundo 0 c 1. d.
5. Si se satisfacen dos raíces reales desiguales de la ecuación, la suma de todos los valores posibles de los números reales es (b).
Respuesta: 0. B. do. d.
6.1, 2, 3 y 4 forman un número de cuatro dígitos (los números se pueden reutilizar) y se cumplen los requisitos. Tal número de cuatro dígitos * * * tiene (c).
A.36, B.40, C.44 y D.48
Rellena los espacios en blanco: (Esta pregunta vale 28 puntos, cada pregunta vale 7 puntos)
1 Como todos sabemos, los números reales que no son iguales entre sí se satisfacen.
2. Sea 1 el número de enteros cuadrados perfectos.
3. En △AB=AC, se sabe que AB=AC, ∠ A = 40, P es un punto encima de AB, ∠ ACP = 20, entonces =.
4. Se sabe que los números reales satisfacen,,, entonces =.
La segunda prueba (1)
1 Como todos sabemos, los lados de un triángulo rectángulo son números enteros y el perímetro es 30. Encuentra el área de su círculo circunscrito.
Si las longitudes de los tres lados de un triángulo rectángulo son (), entonces.
Obviamente, el diámetro de la circunferencia circunstante de un triángulo es la longitud de la hipotenusa.
Poco a poco, así.
Poco a poco, así.
Porque es un número entero, entonces.
Según el teorema de Pitágoras, podemos sustituir y simplificar, por lo
,
Debido a que todas son sumas de números enteros, solo se pueden resolver.
Entonces la longitud de la hipotenusa del triángulo rectángulo y el área de la circunferencia circunstante del triángulo es.
(Esta pregunta vale 25 puntos) Como se muestra en la figura, PA es la recta tangente de ⊙O, PBC es la recta secante de ⊙O, AD⊥OP está en el punto d, prueba:
Demuestre: conectar OA, OB, OC
∵OA⊥AP, AD⊥OP y ∴ se puede obtener mediante el teorema de proyección.
También se puede concluir del teorema de la tangente que ∴, ∴D, b, c, o son círculos * * * de cuatro puntos,
∴∠pdb=∠pco= ∠obc= ∠odc,∠pbd=∠cod,∴△pbd∽△cod,
∴ ,∴ .
3. (La puntuación total de esta pregunta es 25) Se sabe que el vértice de la parábola es p, Se cruza con el semieje positivo del eje en los puntos A y B (), y se cruza con el eje en el punto C. PA es la tangente del círculo circunscrito de △ABC . Suponga m, si AM//BC, encuentre la fórmula analítica de la parábola.
La solución es encontrar fácilmente los puntos p y c.
Supongamos que el centro del círculo circunscrito de △ABC es D, entonces el punto P y el punto D están ambos en la línea perpendicular media de la línea AB, y las coordenadas del punto D lo están.
Obviamente una variable tiene dos ecuaciones cuadráticas, por lo que las coordenadas del punto medio e de AB son, por lo que AE =.
Debido a que PA es tangente a ⊙D, podemos obtener PA⊥AD y AE⊥PD usando el teorema de proyección, lo que significa que es fácil de saber, por lo que podemos obtenerlos.
También se deriva de da = DC, es decir, se puede resolver previa sustitución (la otra solución se descarta).
Porque AM//BC, claro está.
Reemplazar la solución (la otra solución se desecha).
Por tanto, la fórmula analítica de la parábola es.
Segunda prueba (b)
1. (La puntuación total de esta pregunta es 20) Se sabe que la longitud del lado de un triángulo rectángulo es un número entero y el perímetro es 60. . Encuentra el área de su círculo circunscrito.
Si las longitudes de los tres lados de un triángulo rectángulo son (), entonces.
Obviamente, el diámetro de la circunferencia circunstante de un triángulo es la longitud de la hipotenusa.
Poco a poco, así.
Poco a poco, así.
Porque es un número entero, entonces.
Según el teorema de Pitágoras, podemos sustituir y simplificar, entonces
,
Porque todos son números enteros y solo pueden ser o.
Resolver o
Cuando, el área de la circunferencia circunstante del triángulo es;
Cuando, el área de la circunferencia circunstante del triángulo es .
Como se muestra en la figura, PA es la recta tangente de ⊙O, PBC es la recta secante de ⊙O, AD⊥OP está en el punto d y el otro punto de intersección del círculo circunscrito de △ ADC y BC es e. Prueba: ∠ BAE = ∠ACB.
Prueba: Conecta OA, OB, OC, BD.
∵OA⊥AP, AD⊥OP y ∴ se pueden obtener a partir del teorema de proyección.
, .
Según el teorema de la línea de corte,
∴, ∴D, b, c, o cuatro puntos * * * círculo,
∴∠PDB=∠PCO=∠OBC=∠ODC,
∠PBD=∠COD,∴△PBD∽△COD,∴,
∴,∴.
∠ BDA =∠ BDP+90 =∠ ODC+90 =∠ ADC, ∴△BDA∽△ADC,
∴∠ Bad =∠ ACD, ∴AB es la circunferencia circunscrita de △ADC La recta tangente de , ∴∠ BAE = ∠ ACB.
3. (La puntuación total para esta pregunta es 25) El tipo de pregunta y la solución son los mismos que los de la tercera pregunta del documento (a).
La segunda prueba (c)
1. (Esta pregunta vale 20 puntos) El tipo de pregunta y la solución son los mismos que los de la primera pregunta del documento (b).
2. (La puntuación total para esta pregunta es 25) El tipo de pregunta y la solución son los mismos que los de la segunda pregunta del documento (b).
3. (Esta pregunta vale 25 puntos) Se sabe que el vértice de la parábola es p, se cruza con el semieje positivo del eje en el punto A y el punto B (), se cruza con el eje en el punto C, PA es △ABC tangente a la circunferencia circunstante. Mueva la parábola una unidad hacia la izquierda, la nueva parábola cortará la parábola original en el punto Q, y ∠ QBO = ∠ OBC. Encuentra la fórmula analítica de una parábola.
Resolver la ecuación de la parábola, es decir, entonces el punto p y el punto c.
Supongamos que el centro del círculo circunscrito de △ABC es D, entonces el punto P y el punto D están ambos en la línea perpendicular media de la línea AB, y las coordenadas del punto D lo están.
Obviamente una variable tiene dos ecuaciones cuadráticas, por lo que las coordenadas del punto medio e de AB son, por lo que AE =.
Debido a que PA es tangente a ⊙D, podemos obtener PA⊥AD y AE⊥PD usando el teorema de proyección, lo que significa que es fácil de saber, por lo que podemos obtenerlos.
También se deriva de da = DC, es decir, se puede resolver previa sustitución (la otra solución se descarta).
Después de desplazar la parábola hacia la izquierda en unidades, la nueva parábola es
.
Es fácil encontrar que el punto de intersección de las dos parábolas es q.
De ∠ qbo = ∠ obc, podemos obtener ∠ qbo = ∠ obc.
QN⊥AB, el pie vertical es n, luego n, nuevamente, y así sucesivamente.
∠QBO= =
.
∠ OBC = otra vez, entonces
.
Resolver (otra solución, rendirse).
Por tanto, la fórmula analítica de la parábola es.