Preguntas de matemáticas amc12 2010

Debido a que todas las direcciones del primer salto son completamente simétricas, la probabilidad obtenida en cualquier dirección debe ser la misma, por lo que no es necesario considerar el primer paso, solo los tres pasos segundo y tercero.

Establezca un sistema de coordenadas plano rectangular con el punto de partida como origen y el vector desde el punto de partida hasta el punto de llegada del primer paso como el vector unitario del eje X. Las coordenadas de llegada del primer paso. punto son (1, 0).

Supongamos que el segundo paso es saltar desde la dirección de X radianes (0 ≤ x < 2π) en sentido antihorario desde el eje X, y el tercer paso es saltar desde la dirección de Y radianes (0 ≤ y < 2π) en sentido antihorario desde el eje X Salte, luego las coordenadas del punto alcanzado en el segundo paso son (1 cos x, sen x), y las coordenadas del punto alcanzado en el tercer paso son (1) .

Para que la rana no esté a más de un metro de su punto de partida después de saltar, ¿cuál debe ser (1 cos x cos y)? (pecado x seno y)? ≤1, es decir (el siguiente es un proceso simplificado):

1 2(cos x cos y) (cos x cos y)? (pecado x seno y)? ≤1

1 2(cos x cos y) 2(cos xcos y sin xsen y) 2≤1

cos x cos y cos(x-y) 1≤0

2cos[(x y)/2]cos[(x-y)/2] 2cos? [(x-y)/2]≤0

2 cos[(x-y)/2](cos[(x y)/2] cos[(x-y)/2])≤0

cos[(x-y)/2]cos(x/2)cos(y/2)≤0

Dado que 0 ≤ x < 2π y 0 ≤ y < 2π, 0 ≤ x/2, y/2 < π, -π≤2(x-y)/2