Examen de ingreso de posgrado 2016 para Matemáticas Avanzadas

Dividir: f'' 2f' 2f = e (-x)...①

g'' 2g' 2g=e^(-x)*cosx...②

Entonces las características de la ecuación original y * = f g desatar.

①f'' 2f' 2f=e^(-x)

Debido al discriminante de la ecuación característica

Podemos establecer su solución especial como: f = c * e (-x), sustituya en la ecuación ① para obtener C=1.

Entonces la solución especial de la ecuación ① es: f = e (-x)

②g'' 2g' 2g=e^(-x)*cosx

Porque -1 i es la raíz de la ecuación característica.

La solución especial se puede establecer como: g = xe (-x) * (c1cosx c2sinx).

g'=e^(-x)*(c1cosx c2sinx)-g xe^(-x)*(c2cosx-c1sinx)

g''=-e^( -x)*(c1cosx c2sinx) 2e^(-x)*(c2cosx-c1sinx)-g'-xe^(-x)*(c2cosx-c1sinx)-xe^(-x)*(c1cosx c2sinx)

Al poner en la ecuación ②, obtenemos C2=1/2, C1=0.

Por lo tanto, la solución especial de la ecuación ② es: g = (x/2) * e (-x) * sinx.

Entonces la solución especial de la ecuación original es: y * = e (-x) * [1 (x/2) * sinx].

La solución general es: y = e(-x)*(acosx bsinx) e(-x)*[1 (x/2)* sinx]

Donde a y b es una constante arbitraria.